矩阵位移法
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构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到 了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形 式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算 机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用 “机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
e vi
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
i
0 6 EI l2 4 EI l 0
e
u
0 0 EA l 0 0
e j
v
0
e j
0
e j
e FNi
EA l
12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端
力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
3. 特殊单元的刚度矩阵 （1）不考虑轴向变形的刚架单元 由于
u u 0
e i e j
，可将式（9—5）中删去与轴向
变形对应的行和列（即第1、4行和1、4列），则
12EI 3 l 6 EI l2 12EI l3 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI 2 l 2 EI l 12EI l3 6 EI 2 l 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
e k 中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分 量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的 杆端力分量的数值。
(2) 单元刚度矩阵的性质
e k 1) 对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵 中位于 e k 主斜线两边对称位置的两个元素是相等的,故 是一个对称
EA l 0 0
e ui vie e i u e je v j e j
（9— 1） (10 1)
上式称为单元的刚度方程,它可简写为：
e e e F k
e i
y
F Sj
j i
e
Mj
j'
e e
e
e e Mi i' FN i
F Nj
x
vie
i
F Si
e
e l
j
ui
e
uje
、F 和M j。
e Sj
e e e e u v j端的杆端位移为 j 、 j 和 j ，相应的杆端力为 F Nj
vje
e
e
杆端力和杆端位移的正负号规定为： 杆端轴力 F 与x 轴正方向一致为正，杆端剪力F 以与 y 轴正方 e 向相同为正，杆端弯矩 M 以逆时针转向为正，杆端位移的正负 号规定与杆端力相同。
F F
e Ni e Nj
EA e EA e ui uj l l EA e EA e ui uj l l
其次,可由转角位移方程，并按规定的符号和正负号,可将单 元两端的弯矩和剪力表示为:
12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l 6 EI 4 EI e 6 EI e 2 EI e M ie 2 vie i 2 v j j l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F Sj 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e M j 2 vi i 2 v j j l l l l
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。 然后按单元力学性质对每个单元建立单元刚度方程，在满 足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体。 在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题 转化为简单单元分析和集合问题。 矩阵位移法的要点 ： 化整为零 （离散化、单元分析） 集零为整 （结点力平衡、位移协调）
e
F Si Mi FNi FSi M i FNj FSj M j FNj FSj M j
eT
2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响,则可分别 导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。 首先,由虎克定律可知:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe N
e S
上述杆端位移分量可用矩阵表示为：
i端的位移分量为：
i
e
ui e vi ui vi i i
T
j端的位移分量为：
j
e
u j v j u j v j j j
eT
单元e的杆端位移列阵为：
ui vi e e i i u ui vi i u j v j j e j j v j j
e
e
eT
杆端内力的矩阵表示： FNi
e
F
e
e F i e F j
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷 载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的 计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物 理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过 程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其 物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
术语和提法。
1、矩阵位移法的基本思路 a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力
结构结点力 杆件杆端力
法
杆件端点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体 情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。
第九章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整 体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结
（9—2）
式中
F F
e
e Ni
F
e Si
M
e i
F
e Nj
F
e Sj
M
e j
T
（9—3）
u
e
e i
v
e i
e i
u
e j
v
e j
e T j
（9—4）
分别称为单元的杆端力列阵和杆端位移列阵，而
u ie
EA l 0 0 e k EA l 0 0
为了减少基本未知量的数目，跨
间集中荷载作用点可不作为结点，
但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点，
但要推导相应的单元刚度矩阵，
编程序麻烦。
第二节
单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法
图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和 e e e e vi e和i ，相应的杆端力为 F Ni 、 末端。i端的杆端位移为ui、 F Si 和M (各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是 单元的编号，下同)；
方阵。
e e k 2) 奇异性 单元刚度矩阵 k 是奇异矩阵。 的相应行列
e 式的值为零,逆矩阵不存在。因此,若给定了杆端位移 ,则 e e F 可以由式(9-4)确定出杆端力 ；但是给定了杆端力 F 后, e 却不能由式(9-4)反求出杆端位移 。由于讨论的是一般
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
FSie M ie
e FNj
（9—5）
6 EI l2 2 EI l
e FSj
Me j
称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向 量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 k e 是 一个6×6阶的方阵。值得注意的是杆端力列阵和杆端位移列 阵的各个分量,必须是按式(9-3)和(9-4)那样从i到j按一定次序 排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之 改变。为清晰起见,在式(9-5)的上方注明杆端位移分量,而在右 方注明杆端力分量。 (1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以
矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 一种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算 的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形 式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是 适应了电子计算机进行自动化计算的要求。
结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别： 在原理上同源，在作法上有别。 前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算 手段的不同，引起计算方法的差异。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有 易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。 矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些
e Si
将上面两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:
EA l e F Ni 0 Fe Si e 0 Mi e EA F Nj l e F Sj M e 0 j 0
e vi
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
i
0 6 EI l2 4 EI l 0
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EA l
12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端
力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
3. 特殊单元的刚度矩阵 （1）不考虑轴向变形的刚架单元 由于
u u 0
e i e j
，可将式（9—5）中删去与轴向
变形对应的行和列（即第1、4行和1、4列），则
12EI 3 l 6 EI l2 12EI l3 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI 2 l 2 EI l 12EI l3 6 EI 2 l 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
e k 中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分 量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的 杆端力分量的数值。
(2) 单元刚度矩阵的性质
e k 1) 对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵 中位于 e k 主斜线两边对称位置的两个元素是相等的,故 是一个对称
EA l 0 0
e ui vie e i u e je v j e j
（9— 1） (10 1)
上式称为单元的刚度方程,它可简写为：
e e e F k
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、F 和M j。
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e e e e u v j端的杆端位移为 j 、 j 和 j ，相应的杆端力为 F Nj
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杆端力和杆端位移的正负号规定为： 杆端轴力 F 与x 轴正方向一致为正，杆端剪力F 以与 y 轴正方 e 向相同为正，杆端弯矩 M 以逆时针转向为正，杆端位移的正负 号规定与杆端力相同。
F F
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其次,可由转角位移方程，并按规定的符号和正负号,可将单 元两端的弯矩和剪力表示为:
12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l 6 EI 4 EI e 6 EI e 2 EI e M ie 2 vie i 2 v j j l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F Sj 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e M j 2 vi i 2 v j j l l l l
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。 然后按单元力学性质对每个单元建立单元刚度方程，在满 足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体。 在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题 转化为简单单元分析和集合问题。 矩阵位移法的要点 ： 化整为零 （离散化、单元分析） 集零为整 （结点力平衡、位移协调）
e
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eT
2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响,则可分别 导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。 首先,由虎克定律可知:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe N
e S
上述杆端位移分量可用矩阵表示为：
i端的位移分量为：
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e
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j端的位移分量为：
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单元e的杆端位移列阵为：
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杆端内力的矩阵表示： FNi
e
F
e
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2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷 载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的 计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物 理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过 程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其 物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
术语和提法。
1、矩阵位移法的基本思路 a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力
结构结点力 杆件杆端力
法
杆件端点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体 情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。
第九章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整 体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结
（9—2）
式中
F F
e
e Ni
F
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（9—4）
分别称为单元的杆端力列阵和杆端位移列阵，而
u ie
EA l 0 0 e k EA l 0 0
为了减少基本未知量的数目，跨
间集中荷载作用点可不作为结点，
但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点，
但要推导相应的单元刚度矩阵，
编程序麻烦。
第二节
单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法
图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和 e e e e vi e和i ，相应的杆端力为 F Ni 、 末端。i端的杆端位移为ui、 F Si 和M (各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是 单元的编号，下同)；
方阵。
e e k 2) 奇异性 单元刚度矩阵 k 是奇异矩阵。 的相应行列
e 式的值为零,逆矩阵不存在。因此,若给定了杆端位移 ,则 e e F 可以由式(9-4)确定出杆端力 ；但是给定了杆端力 F 后, e 却不能由式(9-4)反求出杆端位移 。由于讨论的是一般
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
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称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向 量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 k e 是 一个6×6阶的方阵。值得注意的是杆端力列阵和杆端位移列 阵的各个分量,必须是按式(9-3)和(9-4)那样从i到j按一定次序 排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之 改变。为清晰起见,在式(9-5)的上方注明杆端位移分量,而在右 方注明杆端力分量。 (1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以
矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 一种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算 的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形 式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是 适应了电子计算机进行自动化计算的要求。
结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别： 在原理上同源，在作法上有别。 前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算 手段的不同，引起计算方法的差异。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有 易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。 矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些
e Si
将上面两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:
EA l e F Ni 0 Fe Si e 0 Mi e EA F Nj l e F Sj M e 0 j 0