线性代数解析及例题

行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即i<j时元素aij=0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零(即i>j时元素aij=0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即i≠j时元素aij=0)的行列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即
,
所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D１的项数相同，所以D=-D1.
交换行列式i，j两行记作r(i，j)，交换行列式i，j两列，记作c(i，j).
推论若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.
性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式.
定理2n阶行列式的一般项可以写成
，
其中S与T分别是n级排列 与 的逆序数.
证该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n级排列 与 同时改变奇偶性，于是S+T的奇偶性不变，如果将排列 对换为自然顺序12…n(逆序数为0)，排列 也相应对换为 (逆序数为J)，则有
.
由定理2可知，行列式也可定义为
,
其中连乘积
是满足条件1≤j<i≤n的所有因子 的乘积.
证用数学归纳法证明.当n=2时，有
,
结论成立.假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论也成立.
在Vn中，从第n行起，依次将前一行乘-x1加到后一行，得
按第1列展开，并分别提取公因子，得
上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得
,
所以
.
推论行列式D中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数
余子式乘积之和等于零，即
(i≠j)
或
(i≠j).
证
.
当i≠j，因为 与行列式中第j行的元素无关，将上式中的 换成 （k=1，2，…，n)，有
.
同理可证
(i≠j).
综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：
或
例11计算n阶行列式(递推公式法)
叫做元素 的代数余子式.
由定义可知， 与行列式中第i行、第j列的元素无关.
引理 在n阶行列式D，如果第 行元素除 外全部为零，那么这行
列式等于 与它的代数余子式的乘积，即
.
证先证 的情形.即
.
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论.
定理3 行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.
定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).
.
解由行列式 可知， .
将 按第1列展开
，
即 .
这个式子对任何n(n≥2)都成立，故有
例12求方程 的根，其中
.
解由观察可知 是一个根，因为 时，行列式第1、2列成比例，所以 .要求其他根需展开这个行列式，将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，结合例4，即得
.
所以方程 有两个根：0与-1.
(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)式右端各项可写成 ，这里j1j2j3是1、2、3的一个三级排列，当j1j2j3为偶排列时，项 前面的符号为正，当j1j2j3为奇排列时，项 前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中J=τ（j1j2j3）为排列j1j2j3的逆序数.从而(1-2)式可写为
. （1源自文库5）
若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为 ，于是行列式又可定义为
. （1.6）
§
记
，
，
行列式D′称为行列式D的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证记
，
即 (i,j=1,2,…，n)，按行列式定义
.
性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有.
定义2在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与
大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
一个排列j1j2…jn的逆序数，一般记为τ(j1j2…jn).
排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即τ(213)=1.进一步我们有以下定义.
定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.
二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列.
现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律：
(1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式反号.
证
，
交换第p，q两列得行列式
.
将D与D1按(1-6)式计算，对于D中任一项
其中I为排列 的逆序数，在D1中必有对应一项
（当j≠p,q时，第j列元素取 ，第p列元素取 ，第q列元素取 )，其中 为排列 的逆序数，而
与
只经过一次对换，由定理1知， 与 相差一个符号，又因
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排列.
(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1= .
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.
§
定义4n阶行列式
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
（i=１，２，…，n）
或
（j=１，２，…，n）.
证
.
我们称定理3为行列式的按行（列）展开处理，也称之为拉普拉斯（Laplace）展示定理.
例7计算行列式
.
解由定理3知
.
例8计算行列式
.
解
例9计算行列式(加边法)
.
解当x=0或y=0时，显然D=0，现假设x≠0且y≠0，由引理知
.
例10证明范德蒙（Vander monde）行列式
，
这里 , , , ，R也就是排列 的逆序数，以P，Q分别表示排列 与 的逆序数，则有R=P+Q，于是
.
定义5排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换(邻换).
定理1一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性.
证先证相邻对换的情形.
设排列为 ，对换 与 排列变为 ，显然 这些数的逆序数经过对换并不改变，仅 与 两数的逆序数改变：当 时，经对换后， 是逆序，新排列的逆序数增加1，当 时， 不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列 与排列 的逆序数相差1，奇偶性改变.
下证一般对换的情形.
设排列为 ，对换 与 ,把 往后连续作 次相邻对换，排列变为 ，再把 往前连续作 次相邻对换，排列变为 ，从而实现了 与 的对换，它是经 次相邻对换而成，排列也就改变了 次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反.
由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式中乘积 可以写成 ，一般n阶行列式中乘积 可以写成 ，其中 与 都是n级排列.
，
表示对全体三级排列求和.
例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.
(1) 42531，（2） 135…（2n-1）246…(2n).
解（1） 对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即
.
由此可见
.
例4设
，
， ，
证明D=D1D2.
证记 ，
其中
dij=aij(i,j=1,2,…，k)；
dk+i,k+j=bij(i,j=1,2,…，n)；
di,k+j=0 (i=1,2,…，k;j=1,2,…，n).
考察D的一般项 ，R是排列 的逆序数，由于 (i=1,2,…，k;j=1，2，…，n)，因此 均不可大于k值，否则该项为0，故 只能在1，2，…，k中选取，从而 只能在k+1,k+2,…,k+n中选取，于是D中不为0的项可以记作
§
由二元、三元线性方程组的克莱姆法则，我们有n元线性方程组的克莱姆法则.
克莱姆法则如果线性方程组
（1-7）
的系数行列式不等于零，即
，
那么，方程组(1.7)有惟一解
（1-8）
其中 （j=１，２，…，n)是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
.
证明
（1） 把方程组(1-7)简写为
.
例3证明
.
上面的行列式中，未写出的元素都是0.
证由于行列式的值为： ，只需对可能不为0的乘积 求和，考虑第n行元素 ，知jn=1，再考虑第n-1行元素an-1,jn-1，知
jn-1=1或jn-1=2，由于jn=1知jn-1=2，如此类推j2=n-1,j1=n,排列j1j2…jn只能是排列n(n-1)…21,它的逆序数为J=(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)2,所以行列式的值为
（1-3）
的代数和，这里j1j2…jn是1，2，…，n的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j1j2…jn是偶排列时，（1-3）带有正号，当j1j2…jn是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成
， (1.4)
这里 表示对所有n级排列求和.
例2计算四阶行列式
.
解根据定义，D是4!=24项的代数和，但每一项的乘积 中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除a11外全为0，故只需考虑j1=1，第2行元素中只有a21,a22不为0，现已取j１=1，故必须取j２=2，同理必须取j3=3，j4=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是 ，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式 .
.
把(1-8)式代入第 个方程，左端为
第i行(列)乘以数k，记作r(i(k))［c(i(k))］.
推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面.
性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零.
性质5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如
，
则行列式D等于下列两个行列式之和：
.
性质6 把行列式某一行(列)的元素乘以数k，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.
有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n级排列的总数是n(n-1)(n-2)·…·2·1=n!，读为“n阶乘”.
显然12…n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.
第一章
§
解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为
=a11a22-a12a21，(1-1)
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a13a22a31-a11a23a32-a1２a2１a33，（1-２）
其中元素aij的两个下标i与j分别表示aij所在的行与列的序数.
例如，以数k乘以第i行（列）上的元素加到第j行(列)对应元素上,记作 ，有
性质3—性质6的证明请读者自证.
例5计算四阶行列式
.
解
.
例6 计算行列式
.
解
.
§
定义6在行列式
中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n-1)2个元素按照原来的排法构成一个n-1阶的行列式
称为元素 的余子式，记为 .记
，