第13章_计算流体力学CFD(5)

交替方向隐式(ADI)方法
第一步：
简化为三对角形式
交替方向隐式(ADI)方法
第一步： 对每一个固定的j，对所有 的i联立形成方程组。 对不同的j，重复上述过程。
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
第二步：
时间步长为 ，空间导数采用中心差分，只对y的 导数采用隐式处理。
交替方向隐式(ADI)方法
6.3 粘性流动、守恒形式和空间推进
6.3.1 粘性流动
粘性流动
粘性流动的控制方程是N-S方程。 对定常流动，N-S方程的数学性质更多地表现为 椭圆型的，不能采用Lax-Wendroff方法和 MacCormack方法求解。 对非定常流动，可以采用Lax-Wendroff方法或 MacCormack方法求解N-S方程。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
上标n和n+1表示迭代次数
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
从左至右扫描
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
当所有网格点处的 收敛。
交错网格
交错网格的应用
在(i-1/2,j), (i+1/2,j)等图 中的空心原点上计算u 在(i,j-1/2), (i,j+1/2)等图 中的空心原点上计算v
交错网格
交错网格的应用
连续性方程在网格点(i,j) 的中心差分表达式为：
交错网格
6.7.3 压力修正法的基本原理
压力修正法的基本原理
第二步：
简化为三对角形式
交替方向隐式(ADI)方法
第二步： 对每一个固定的i，对所有 的j联立形成方程组。 对不同的i，重复上述过程。
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
两步结束之后，T在时间方向上推进了一个时间步长t.
推进过程只涉及三对角方程组。
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
[
]
Lax-Wendroff方法
[
]
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 ：
6.2 MacCormack方法
MacCormack方法
MacCormack方法是一种显式有限差分 方法，适合于推进求解。 MacCormack方法在时间和空间上都 具有二阶精度。 MacCormack方法比Lax-Wendroff方 法应用起来更简单。
MacCormack方法
预估步 校正步
MacCormack方法
预估步：空间导数用向前差分计算。
MacCormack方法
预估步：空间导数用向前差分计算。ห้องสมุดไป่ตู้
预估值：
MacCormack方法
校正步：空间导数用向后差分计算。
MacCormack方法
MacCormack方法
在MacCormack方法中，预估步用向前差分， 校正步用向后差分；也可以预估步用向后差分， 校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相 继两个时间步中轮流使用这两种办法。
二维时间推进网格
Lax-Wendroff方法
非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒形式）：
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 (沿时间方向进行泰勒级 数展开)：
Lax-Wendroff方法
空间导数采用中心差分：
Lax-Wendroff方法
求对时间t的二阶导数：
( )
Lax-Wendroff方法
压力修正 的泊松方程(为椭圆型)：
Q d / t
d相当于一个质量源项。
6.7.5 数值方法：SIMPLE方法
数值方法：SIMPLE方法
SIMPLE是Semi-implicit method for pressure-linked equation (压力耦合方程的半隐式算法)的缩写。
数值方法：SIMPLE方法
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
选取合适的值，可以减少迭代次数，从而减少计算 时间。在某些问题中，迭代次数可减少到原来的1/30
6.5 数值耗散、色散及人工粘性
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程：
差分方程：
截断误差：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
泰勒级数展开：
数值耗散、色散及人工粘性
* n 1
的求法：
X方向的动量方程：
数值方法：SIMPLE方法
2）
u
* n 1
的求法：
在a点：
在b点：
数值方法：SIMPLE方法
X方向的动量方程：
差分方程：
数值方法：SIMPLE方法
X方向的动量方程：
差分方程：
数值方法：SIMPLE方法
2）
u
* n 1
的求法：
数值方法：SIMPLE方法
二维不可压流体的连续 性方程为：
中心差分格式为：
速度会出现右图的 棋盘式分布
右上角是u的值， 左下角是v的值
交错网格的应用
可压流动中不会发生右 图的问题，因为连续性 方程中包含了密度对时 间和空间的变化。
V 0 t

在可压缩流动中，右图 速度的棋盘分布经过一 个时间步就会被抹平。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于亚声速流动，上述 方程是椭圆型的，所有 空间推进方法都不适用， MacCormack方法也不 适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于超声速流动，上述方 程是双曲型的，空间推进 方法适用，MacCormack 方法也适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
MacCormack方法：
速度修正量
可以从
得到。
压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：
4） 用步骤3)中修正后的压力做为新的p*，回到步 骤2)。重复这个过程，直到速度场满足连续性方程 为止。
这样就得到修正好了的流场。
6.7.4 压力修正公式
压力修正公式
压力修正公式为：
压力修正公式
压力修正公式为：
压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用
压力修正法也是一种迭代过程，在不可压N－S方程的 数值求解中得到了广泛的应用。
6.7.1 不可压N－S方程
不可压N－S方程
假设=常数，=常数，可压缩N－S方程转化为不可 压N－S方程：
上述四个方程封闭，含
四个未知数。
6.7.2 交错网格的应用
交错网格的应用
右上角是u的值， 左下角是v的值
交错网格的应用
二维不可压流体压力梯 度采用中心差分：
压力会出现右图的 棋盘式分布
棋盘式的离散压力分 布
交错网格的应用
在交错网格上使用中心 差分就不会出现速度和 压力的棋盘式分布问题。
交错网格
交错网格的应用
在(i-1,j), (i,j), (i+1,j), (i,j+1),(i,j-1)等图中的实 心原点上计算压力
第一步，差分方程的x方向是隐式的。 第二步，差分方程的y方向是隐式的。
所以这种方法叫交替方向隐式方法(Alternating Direction Implicit, ADI)
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
ADI格式对t,x,y都是二阶精度的
截断误差为：
6.7 压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用
压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用
不可压无粘流动受椭圆型偏微分方程控制（不可压欧 拉方程），松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法， 本质上是一个迭代过程。
压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用
不可压粘性流动的控制方程是不可压的N－S方程，这 个方程具有椭圆型和抛物型的混合特性，松弛法不是 特别适用。
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数项前的系数被称 为人工粘性。
数值耗散、色散及人工粘性
数值耗散的影响会将波抹平
数值耗散、色散及人工粘性
色散导致波的不同相位在传播中产生畸变， 表现为波前和波后出现振荡。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的稳 定性。
in,j1 in, j
都小于一个预定的值时，迭代
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
从左至右扫描
从下至上扫描
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
是松弛因子，如果>1，叫做逐次超松弛法； 如果<1，叫做逐次低松弛法。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
第13章 计算流体力学CFD(5)
6 计算流体力学的基本方法
6.1 Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法 是一种显式有限差 分方法，适合于推 进求解。
二维时间推进网格
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法 在时间和空间上都 具有二阶精度。
偏微分方程（修正方程）：
修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项 是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项 是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数 项起数值色散的作用。
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）：
差分方程：
差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解（含误差）
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
差分方程：
差分方程的精确解是上述修正方程的精确解（不含误差）
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）：
差分方程：
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散、色散及人工粘性
压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：
1）迭代开始时，先给定压力的初始近似p*
2）用p*的值从动量方程中求解u,v,w,得到与p*有关 的u*,v*,w*
压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：
3）将u*,v*,w*代入连续性方程，它们不一定满足连 续性方程。用连续性方程构造压力的修正量 ,加 到p*上，使速度场满足连续性方程。 修正后的压力为 修正后的速度为
差分方程：
将泰勒级数展开代入差分方程得：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
将泰勒级数展开代入差分方程得：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
等号右边将对t的偏导数转化为对x的偏导数得：
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）：
差分方程：
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散、色散及人工粘性
空间推进
预测步：（向前差分）
预估值：
空间推进
预估值：
空间推进
校正步：（向后差分）
6.4 松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程， 常被用来求解无粘亚声速的低速流动。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
考虑无粘不可压流体的二维无旋流动，控 制方程为Laplace方程：
2）
u
* n 1
的求法：
数值方法：SIMPLE方法
2）
v
* n 1
的求法：
Y方向的动量方程：
数值方法：SIMPLE方法
2）
v
* n 1
的求法：
在c点：
在d点：
数值方法：SIMPLE方法
Y方向的动量方程：
SIMPLE算法的步 骤如下： 1）在右图所示的交 错网格上分别给出
p
* n
,
u
* n
,
v
* n
数值方法：SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 骤如下： 2）求出 u
* n 1

,
v
* n 1
采用动量方程求解。
数值方法：SIMPLE方法
2）
u
6.3.2 守恒形式
守恒形式
非定常守恒形式欧拉方程（二维）：
可以采用Lax-Wendroff方法或 MacCormack方法求解U的分 量在各时间步的值。
u U v 2 v e 2
6.3.3 空间推进
上述压力修正公式具有椭圆型的性质，可以用松弛 法数值求解。 在不可压流场中，压力的扰动将会传遍整个流场， 这与上述方程的椭圆型性质相吻合。
压力修正公式
压力修正公式为：
压力修正公式是压力修正 分表达式。
的泊松方程的中心差
上述泊松方程中的二阶偏导数用中心差分替代。
式中： Q d / t
压力修正公式
6.6 交替方向隐式(ADI)方法
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
采用Crank-Nicolson方法（隐式）：
等号右端有五个未知量，不能得到三对角方程组，不能采 用托马斯算法（追赶法）求解。
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
第一步：
时间步长为 ，空间导数采用中心差分，只对x的 导数采用隐式处理。