自动控制数学模型

式中 常系数，且有n≥m。
均为由系统结构参数决定的
2.1.3 非线性数学模型的线性化
在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格 地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是， 许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。
若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开 为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次 项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。
§ 2.1 数学模型概述
为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首 先需要建立系统的数学模型。
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传 递函数及动态结构图。
系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定 律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
拉氏变换将原来的时间函数f(t)转化为复变量函数F(s)。 通常 将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数。
2. 1) 根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表。
1(t )
t
Fra Baidu bibliotekt2 /2
eat
te a t
c3 (s 1)2

c4 s 1
c1 [F (s)s]s0 1/ 3
c2 [F (s)(s 3)]s3 1/12
对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，
并 设 在 给 定 工 作 点 处 c0=f(r 0)， 各 阶 导 数 均 存 在 ， 则 可 在
的邻域展开泰勒级数，即
当(r－r 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得
或
在处理非线性问题时，应注意以下几点： 1．线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假 设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。 2．线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际 变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计 算误差。 3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此 原则上不能用小偏差法进行线性化
sin

0
显然方程是一个二阶的非线性微分方 程(因为含有sinθ ), 但是在摆幅较 小的情况下, 将其线性化处理：
令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：
k d sin cos(0) 1 d 0
f f0 k( 0)
f
即单摆系统的近似线性化动态方程为：
2.1.1线性系统的微分方程模型
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高 导数项的阶数, 又称为系统的阶数。
如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：
如图RLC网络，由电路定律可得:
不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应 的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以 撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规 律。
sin t cos t
ea t sin t
1
s
1 s2
1 s3 1
sa
1 (s a)2

s2 2 s
s2 2
(s a)2 2
2)MATLAB计算 syms s t ;Ft=1-sin(t) Fs=laplace(Ft,t,s) 执行结果：Fs=1/s-1/(s^2+1)
出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归 化为具有一定物理意义的形式。
例2.1 列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路 的输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）
解 根据基尔霍夫定律得：
消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：
令
则上式可改写为：
若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。 线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为
ml
d 2
dt 2
μ
l
d
dt

mgl

0
§ 2.2 传 递 函 数
传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概念。
2.2.1 拉氏变换
1.
将时间函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=σ +jω 是一个复数),
并且在［0,+∞］上对t积分, 称为f(t)的拉氏变换,并用L[f(t)］
表示。
例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅θ (t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻 尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。
解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出 如下系统运动方程:
ml
d 2
dt 2
μ
l
d
dt
mgl
有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。
机械系统中，设外力F＝1， 质量 m＝2，弹性系数k＝1， 若阻尼系数较小 ＝1，则发生 震荡，若阻尼系数较大 ＝10， 不会产生震荡。但无 论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力 正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。
总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统， 事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测 和控制。
2.1.2 列写微分方程的一般方法
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，
标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。 2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所
遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输
3. 拉氏反变换 已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：
f (t) L1[F (s)]
1) 部分分式法
将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。
例2.3 F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。
解:
F (s)

1 s(s 3)(s 1)2

c1 s

c2 s3