材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算

x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
M>0
d
2 w( x) dx2
351qL4 256EI
qL4 3EI
1309qL4 768EI
逐段刚性法：
研究前一段梁时，暂将后面的各 段梁视为刚体，前一段梁末端截面的 位移为后一段梁提供一个刚体位移； 在研究后一段梁时，将已变形的前一 段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的 变形叠加在前一段梁的所提供的刚性 位移上，从而得到后一段梁的总位移
x3
Fb 6l
l2 b2
x
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a3
Fb l2 b2 x 6l
6 最大转角
EIq A
EIq
|x0
Fab 6l
l
b
EIqB
EIq
|xl
Fab 6l
l
a
if a b then
qmax
qB
Fab 6lEI
l
a
if a b then
qmax
Fl 2 16EI
6 最大挠度
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计
9.6 用变形比较法解简单超静定梁
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
F2
F1
a
A
D F1 F1a
wC1
BC
F2 qB0
b 把未变形BC刚性化
C wC 2
c
wC1
5q / 2l4
384EI
5ql 4 768EI
q A1
qB1
q / 2l3
24EI
ql 3 48EI
A
集中力偶单独作用时
w
wC2 0
q A2
qB2
q / 2l / 23
24EI
ql 3 384EI
A
w
+
=
q/2 wC1
q/2 wC 2 q / 2
B x
qC1 B
x
叠加
wC
wC1
wC 2
5ql 4 768EI
qB
qA1
qA2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
3ql 3 128EI
qB
qB1 qB2
ql3 48EI
ql 3 384EI
7ql3 128EI
P
q 例 用叠加原理求A点转
A
C
B 角和C点挠度。
a
a
载荷分解如图
=
P
查简单载荷变形表
A
B
q
PA
Pa2 4EI
x 0,w 0
x 0, w q 0
EIw(x) M (x)
* 注意问题
什么时候需要分段积分？
如何确定极值？
L1
A
C
L2
P
B
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转
角。 弯矩方程
L
P
M (x) P(L x)
x
微分方程的积分
w
EIw(x) M (x) P(L x)
D2
1 32
ql 4
EIw1
1 6
qx3
1 16
ql 3
EIw2
1 16
ql
3l 2
x
2
1 48
ql 3
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
1 16
ql 3 x
11 384
ql 4
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
1 48
ql 3 x
1 32
ql 4
x
0,
l 2
351qL4 256EI
qB q qC q
qa3 6EI
27qL3 256EI
q
B
P
qL2 2EI
wB
P
PL3 3EI
q
A
CBA
wc
w
(q)
B
qc
q (q) B
P
CB
w
(
B
P
)
q (P) B
qB
q
B
q
q
B
P
27qL3 256EI
PL2 2EI
155qL3 256EI
wB q
wB
q
wB
P
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
w w( x) 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 q tanq dw x
dx
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
when w1 0
Fb x2 Fb l2 b2 0 2l 6l
x
l2 b2
al b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
Fb
wmax w1( x ) 9 3EIl
l2 b2 2
if a b then x a
wmax
Fl 3 48EI
例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 A
x
l 2
,
3l 2
EIq A
EIw1 0
1 6
q
03
1 16
ql 3
q A
1 16EI
ql 3
EIy2
l
1 48
ql
3l 2
l
3
1 48
ql 3l
1 32
ql 4
1 48
ql 4
1 8
1
3 2
yC
y2
l
1 128EI
ql 4
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下，材料服从虎克定律
内力 Fs , M 与外力 q, P, M0 成线性关系
w1(
l 2
)
w2
(
l 2
)
w2
(
3l 2
)
0
EIw1(
Байду номын сангаасl) 2
EIw2 (
l) 2
1 24
q
l 2
4
C1
l 2
D1
0
1 ql4 48
C2
l 2
D2
0
C2
3l 2
D2
0
1
6
q
l 2
3
C1
1 16
ql 3
C2
C1
1 16
ql 3 ,
D1
11 384
ql 4,
C2
1 48
ql 3 ,
ql 3 24EI
3ql3 16EI
9.7 用逐段刚性法求解简支 外伸梁的挠度
求AB的变形时，把BC刚化
qB
F1al 3EI
F2
l
/
2l / 22l
6lEI
l
/
2
F1al F2l 2 3EI 16EI
AB变形引起BC的变形
wC1
qBa
F1a 2l 3EI
F2al 2 16EI
A DB
C
l/2 l/2 a
CB
b
L
a 3L , P qL 4
q w 求： , BB
q
A
C BA
wC q
w
(q)
B
q cq
q (q) B
q
(q)
B
q
c
q
P
CB
w
(
B
P)
q (P) B
q
A
wC q
C
q cq
BA
w
(q)
B
q (q) B
P
CB
w
(
B
P)
q (P) B
wB q
wC q bqC q
qa4 8EI
b qa3 6EI
叠加
w
wC
wC1
wC 2
19ql 4 384EI
A
qB
q B1
qB2
7ql 3 24EI
w
q wmax L
ql B
x
=
q
B
wC1 qC1
x
+
wC 2 qC2
ql B
x
例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁
跨中截面的位移和两端截面的转角。
载荷分解如图
A
q CB
l/2 l/2
x
对称均布载荷单独作用时
F
x
a 3
EIw1(a) EIw2(a) 积分成数为 D1 D2 0
D1 D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
Fb l2 b2 6l
EIw1
Fb 6l
wB1
F l / 23
3EI
ql 3 24EI
qB0
C
把变形后的 AC刚性化
c
B截面的位移等于AC段变形引起CB的 刚性位移和CB自身弯曲引起的位移
F wB0 wb1
B
q B1 qB
qB
qB0
qB1
3Fl2 16EI
Fl 2 8EI
5Fl2 16EI
wB
wB 0
wB1
7ql 3 48EI
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
2、边界条件、连续条件
A
a
P
C
B
L
x
w
P
D
L
x
w
x 0,w 0
x L,w 0
x a , w1 w2 w1 w2
F Fl / 2
C
b
qB0
qC
3Fl 2 16EI
wB0
wC
qC
l 2
L
7ql3 48EI
qB0
C
把变形后的 AC刚性化
c
F B
wC wB0
B
F wB0 wb1
B
q B1 qB
求CB的变形，把变形后的AC刚化， 此时CB可 看成以C为固定端的悬臂梁
q B1
F
l / 22
2EI
Fl 2 8EI
0
小变形
1
(1
w( x) w2 )
3 2
w(x)
Q w2 = 1 w(x) M z (x)
o
EI z
M<0
d
2 w( x) dx2
x
0
w(x) M z (x) EI z
w( x)
挠曲线近似微分方程
EIw(x) M (x)
1 M z (x)
EIz
* 思考： 1、若M 常量
2、若M M（x）
x
2
C1
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
边界条件 EIw1(0) 0
C2EIw2(l) 0
连续条件
D1 0
Fb l3 1 F l a3
6l 6 C2l D2 0
再积分一次：
EIw1(a) EIw2 (a) C1 C2
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
PL3 3EI
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
B
2 求出弯矩方程
wmax
x
M x ql x 1 qx2
22
3 微分方程的积分
w
FA
ql 2
L
FB
ql 2
4 边界条件、连续条件
EIw(x) M x 1 qx2 ql x EIw(0) 0 D1 0
和转角方程，最大挠度及最大转角。
a
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
A
M1 x
FAy x
Fb l
x
x 0,a
M2
x
Fb l
x
F
x
a
x a,l
3 微分方程的积分
l
FA
Fb l
EIw1(
x)
M1
x
Fb l
x
F D
B
FB
Fa l
EIw2(
x)
M
2
x
Fb l
x
F
x
a
积分一次：
4 边界条件、连续条件
EIw1
Fb 2l
6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
EIw
|l
2
1 24
q
l
4
2
ql 12
l
3
2
ql 3 24