对函数单调性的再认识

对函数单调性的再认识

李素波

（山西省平定一中，045200）

单调性是函数的基本性质，也是高考的重要内容．然而关于函数单调性的概念，不论学生、还是部分一线教师，乃至网络上一直盛行着一种说法：“函数的单调性是区间上的性质，只有区间上才可以探讨单调性．”那么事实究竟是不是这样呢？

近几年，有大量的有关单调性的论文发表在各大数学杂志上．最近阅读了文［1］，发现也持有上述观点，因此特写本文加以澄清．

文［1］认为：

（1）单调性是针对某个区间而言的．

（2）教师的提问“函数y=1

x

在（－ɕ，0）∪（0，+ɕ）上是单调减函数吗？”这一问法不太妥当．下面我们将针对这两个问题逐一分析．

在文［1］中，作者指出单调性是针对某个区间而言的，并强调这样认为的依据是苏教版高中数学教材必修1中单调性的定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，区间I A．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜

x

2

时，都有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），那么就说y=f（x）在区间I上是单调增（或减）函数，I称为y=f（x）的单调增（或减）区间．

作者据此认为只有在区间上才能谈论单调性．我相信持这种观点的人不在少数，有此认识应该跟教材中单调性定义的呈现方式有关．目前全国各地试用的高中数学教材主要有人教A版，人教B版，苏教版，北师大版等．其中人教版使用范围可能更广一些．所以为数不少的人有此观点也并不稀奇．人教版和苏教版两套教材中有关函数单调性定义的陈述几乎是一样的，上文已有，这里不再重复．

下面我们来看一下北师大版高中数学教材必修1的有关单调性定义的呈现形式：

课本中首先提出苏教版（或人教版）的上述定义，请参考北师大版必修1第41页，这里略去不写．然后特别指出：

一般地，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），就称函数y =f（x）在数集A上是递增的（或递减的）．

由此可以看出，苏教版（或人教版）的单调性定义是呈现了北师大版定义的特殊情况．区间一定是数集，但数集不一定是区间．特别地，当数集A是一个区间时，称A为函数的单调区间．

看过上面的定义，我相信大家的观点就会发生改变．毋庸置疑，单调性并非只有在区间上才能探讨，在一般的数集A上也可以谈论单调性．

其中在北师大版教材中，有很多这样的习题．

第42页练习题2．判断下列函数在给定集合或区间上的单调性：

t12345678

T－3－6－9－12－15－18－21－24

t∈｛1，2，3，4，5，6，7，8｝．

第43页习题2－3第2题讨论下列函数在给定集合或区间上的单调性：

（1）x01234

y0481216

x∈｛0，1，2，3，4｝；

（2）y=2

x

，x∈N

+

．

02数学通讯—2014年第2期（下半月）·教学参考·

出现这样的习题，与单调性定义是完全吻合的．

所谓递增函数，就是当x增大时，y也跟着增大；递减函数就是当x增大时，y减小．当我们思考问题时，也要抓住问题的本质，而不要把精力都片面的集中在区间二字上，出现理解上的偏差．

再者，如果单调性只能在区间上探讨，那么数列的单调性又作何解释？因为数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数，而在正整数集（或其子集）上根本划分不出一个区间来．这样说数列岂不是不能研究单调性了？所谓单调递增（或减）数列，就是反映当n越来越大时，项a n越来越大（或小）这种现象．所以函数单调性决非区间上的性质．

初等数学与高等数学中函数单调性的概念是统一的．如下是华东师大版数学分析中单调性的定义：

设f为定义在数集D上的函数，若对任何x1，x2∈D，当x1＜x2时，总有

（i）f（x

1）≤f（x

2

），则称f为D上的增函数，特

别当成立严格不等式f（x1）＜f（x2）时，称f为D上的严格增函数．

（ii）f（x

1）≥f（x

2

），则称f为D上的减函数，特

别当成立严格不等式f（x1）＞f（x2）时，称f为D上的严格减函数．

其实我们高中数学中研究的单调性是指高等数学中的严格单调，但这丝毫不影响我们在本文中讨论的问题．

有了上文的探讨，我们不难发现文［1］中的问

题2：“函数y=1

x

在（－ɕ，0）∪（0，+ɕ）上是单调

减函数吗？”这样的表达是绝对正确的．因为函数在数集（－ɕ，0）∪（0，+ɕ）上是可以谈论单调性的．

当然这是个假命题，因为函数y=1

x

在数集（－ɕ，

0）∪（0，+ɕ）上不满足单调性的定义．即不满足对于任意的两数x1，x2∈（－ɕ，0）∪（0，+ɕ），当x1＜x

2

时，都有f（x1）＞f（x2）．不防取x1=－1，x2=1，此时x1＜x2，但f（x1）＜f（x2）．

类似的表达还有很多，比如对勾函数y=x+

1

x 在（－ɕ，－1）∪（1，+ɕ）上是单调递增的，因为任取x1，x2∈（－ɕ，－1）∪（1，+ɕ），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．（如图1）．

图1

但是函数y=x+

1

x

在（－1，0）∪（0，1）

上递减是错的．原因是

在数集（－1，0）∪（0，

1）上，不满足减函数的

定义，而并不是因为数

集（－1，0）∪（0，1）不

是一个区间．而且必修4中也经常出现正弦函数y =sin x在第一象限单调递增，这是个假命题，因为在第一象限这个数集中，不满足单调递增的定义，而不是因为第一象限不是一个区间．

至此，我们一开始提出的文［1］中两个问题已经得到解决．

本文无意比较人教版，苏教版，北师大版教材．各版本都独具特色，对知识的呈现方式不尽相同．作为教师，要深入研究教材，不可断章取义，片面理解．先不论教的好与不好，首先要保证传授给学生正确的知识，不要出现科学性的错误．

希望通过本文，大家能对单调性概念有一个更科学的认识，文中分析不当之处，在所难免，欢迎各位同仁批评指正．

参考文献：

［1］宋海永，张文．对单调区间写法的再认识［J］．中学数学月刊，2011（4）．

［2］普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）［M］．北京：人民教育出版社，2007．

［3］普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）［M］．北京：北京师范大学出版社，2011．

［4］华东师范大学．数学分析［M］．北京：高等教育出版社，2010．

（收稿日期：2013－08－19）

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