中学初高中数学衔接知识

初高中数学衔接知识

目 录

引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式

1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法

1. 4十字相乘法（重、难点）

1. 5关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a≠0)的因式分解．

第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用

第三讲

三角形的“四心”

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a a b b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222

()2()a b c a b c a b b c a c

++=+++++； （4）两数和立方公式 3322()33a b a a b a b b +=+++；

（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦

=242(1)(1)x x x -++ =61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-

=61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习

1．填空： （1）22

1

111(

)942

3

a b b a -

=+

（ ）

； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题： （1）若2

12

x m x k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ）

（A ）2m （B ）

21

4m （C ）213

m （D ）2

116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得

－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。

（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42++=+-x x x x

3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式22338b ab a -+得（ ）

A 、()()3 11-+a a

B 、()()b a b a 3 11-+

C 、()()b a b a 3 11--

D 、

()()b a b a 3 11+-

3、()()2082

-+++b a b a 分解因式得（ ）

A 、()()2 10-+++b a b a

B 、()()4 5-+++b a b a

C 、()()10 2-+++b a b a

D 、()()5 4-+++b a b a

4、若多项式a x x +-32

可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）

A 、10=a ，2=b

B 、10=a ，2-=b

C 、10-=a ，2-=b

D 、10-=a ，2=b

5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102

其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式

1、()()3211262

+---p q q p 2、2

2365ab b a a +-

3、6422--y y

4、822

4--b b

－1

1

x y

图1．1－5