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导数知识点归纳及应用

●知识点归纳

一、相关概念 1．导数的概念

函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数

y 相应地有增量 y =f （x 0 +

x ）

－ f （ x 0 ），比值

y

叫做函数

y=f （ x ）在 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即

x

y =

f ( x

x)f ( x 0

)

。如果当 x

0 时， y

有极限，我们就说函数

y=f(x) 在点 x 0 处

x

x

x

可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（ x 0 ）或 y ’|x x 0 。 即 f （x 0 ）= lim

y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 。

x

= lim

x

x 0 x 0

说明：

（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 x

0 时， y

有极限。如果

y

不存在极限，

x

x

就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x

0 时，而 y 是函数值的改变量，可以是

零。

由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：

① 求函数的增量 y =f （x 0 + x ）－ f （x 0 ）；

② 求平均变化率

y = f (x 0 x) f (x 0 )

；

x

x

③ 取极限，得导数 f ’(x 0 )= lim

y 。

x 0

x

例：设 f(x)= x|x|,

则 f ′( 0)=.

f (0

x) f (0)

lim

f ( x)

lim

| x | x

lim | x | 0

∴f ′( 0)=0

[ 解析 ] ：∵ lim

x

x

x

x 0

x 0

x 0

x 0

2．导数的几何意义

函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线

y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处

的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f （x 0））处的切线的斜率是

f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y－y 0 =f /（x 0）（x－x 0）。

例：在函数 y x38x

的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的

4

个数是()

A．3B．2C．1D．0

[ 解析 ] ：切线的斜率为k y /3x 28

又切线的倾斜角小于，即0k1

4

故 0 3x 281

解得： 3x8或 8x3

33

故没有坐标为整数的点

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t 的瞬间速度 v= s（t）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（ t ）。

例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽

车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）

s s s s

O t O t O t O t

A ．B．C．D．

答： A。

练习：已知质点 M按规律s2t

23做直线运动（位移单位：，时间单位：

s

）。

cm

（1）当 t=2 ，t 0.01时，求s ；

t

（2）当t=2 ，t0.001 ，求s ；

t （3）求点 M在 t=2 的瞬速度。

答案：（1）8.02 cm

s（2）8.002

cm

s；（3）8

cm

s

二、数的运算

1．基本函数的数公式:

① C 0; （C常数）

② x n nx n 1;

③(sin x)cos x ;

④(cos x)sin x ;

⑤(e x ) e x;

⑥(a x )a x ln a ;

⑦ ln x 1 ;

x ⑧1

log a e .

l o g a x

x

例1：下列求运算正确的是()

A．(x+ 1

)11B．(log 2x) ′=1

x x2x ln 2 C．(3 x) ′=3x log 3e D． (x 2cosx) ′=-2xsinx

[ 解析 ] ：A ，∵(x+ 1

)11 x x 2

B正确，∵(log 2x) ′=

1

x ln 2

C，∵(3 x) ′=3x ln3

D，∵(x 2cosx) ′=2xcosx+ x 2(-sinx)

例2：f0( x) ＝sinx，f1( x) ＝f0′( x) ，f2( x) ＝f1′( x) ，⋯，f n＋1 ( x) ＝f n′( x) ，n∈N， f 2005( x)＝() A．sinx B．－ sinx C．cos x D．－ cosx