固体理论-1 周期性结构

固体理论

——周期性结构

主讲翦知渐

固体理论–周期性结构

第一章周期性结构

固体结构的一般性描述

§0 绪论

§1格矢和基元

§2 布洛赫定理

34§3 布里渊区和晶体的对称性

§4 周期势场中的函数

§0绪论固体理论的研究对象和特点研究对象固体：由大量原子结合而成的不会流动的宏观体系

从导电性讲：导体、半导体、绝缘体

复杂的相互作用多体系统：

H H H H H H 从晶格结构讲：晶态、准晶、非晶态、无系玻璃态

研究方法H = H e + H I + H I-I + H e-e + H e-I

宏观现象→ 微观模型唯象论微论↓↓主要方法：量子场论的方法基态性质：元激发

唯象理论→ 微观理论建立模型→ 近似求解

量子态（非纯态）→ 量子平均

多粒子（理想气体）→ 统计平均

宏观性质：固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态

时所产生的响应→ 微观 宏观

解释固体的实验测量特性问题归结为：

求解在给定外扰动作用下互作用系统的元激发问题

——这是固体量子论的中心课题

元激发

T=0 K 时，固体的基态不仅是能量最低的状态

而且还是某种有序态对于能量靠近基态的低激发状态往往看作成是些独立基而是某种有序态

从微观角度分析，实验上所测得的宏观属性是固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应

对于能量靠近基态的低激发状态，往往可看作成是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激有时也称为准粒子

发单元就是元激发，有时也称为准粒子借助于元激发的引入，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使低激发态的描述变得十分简单想气体的准粒子系统从而使低激发态的描述变得十分简单 元激发大体可分为两类：

一类是集体激发的准粒子：类是集体激发的准粒子：

声子、磁振子、等离激元等，表现为序参量的微小涨落

这类元激发一般为玻色子

另一类元激发是个别激发：

极化子、金属中的屏蔽电子或准电子

基本近似

基本似

1. 连续介质近似

连续介质近似是将整个固体系统看作宏观意义下的均匀介质——不考虑原子及晶格结构的具体细节

2.绝热近似

考虑到离子实的质量比较大，离子运动速度相对慢，位移相对小，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上——多种粒子的问题就简化成多电子问题

3.单电子近似：

把多体问题简化为单电子问题，即单电子近似

把多体问题简化为单电子问题即单电子近似

——对固体宏观特性起作用的所有电子具有相同特征

单电子近似基于以下近似基础

1. 原子核与核外内层电子考虑成一个整体

2. 假设离子实不动（绝热近似）

3. 忽略电子之间的交互作用（哈特里－福克自洽场方法）

——用自洽场代替电子交换互作用

§1格矢和基元

周期性结构的描述期性结构

1 正格矢

元胞体积格矢

元胞选取不唯一

维格纳-赛茨元胞

2

元激发的状态都是由波矢来描述的

——引入波矢空间及相应的点阵，即倒点阵

倒格矢

——也称动量空间

倒格矢

元胞基矢

正格子与倒格子：

倒格子元胞

第一布里渊区（BZ ），也称简约区

中心为原点的倒格子空间的维格纳-赛茨元胞

BZ 具有晶格点阵点群全部的对称性

正格子与倒格子对称性完全致正格子与倒格子对称性完全一致

sc → sc ，bcc → fcc ，fcc → bcc 平面六角格子的BZ

3 微观对称性——平移对称性——晶格

对称性

波恩-卡门边界条件——忽略表面效应

从晶体内任一点平移N 1a 1、N 2a 2、N 3a 3将返回原处

平移群

平移算符{e |R l }：{e |R l }r = r + R l ，{e |R l }-1r = r –R l )=-1)=–{e |R l }f (r ) f ({e |R l }r ) f (r R l )

周期边界条件即：{e |N i a i } = {e |N i a i }-1= {e |0}

=}—— 宏观对称性

基元

共有N N 1N 2N 3个平移算符{e |a i } 构成平移群阿贝尔群点群

晶系

——宏观与微观对称性

§2布洛赫定理周期性对固体性质的影响

期性固体性质影

对于周期性势场，单电子薛定谔方程的本征函数为

——按格矢的周期函数调幅的平面波

周期势场

薛定谔方程

解的形式：

1

2布洛赫定理的相关说明

(1) 仅仅是平移对称性的结果，与作用量形式无关

线性方程、作用量平移不变（如微分算子）、周期性介质——布洛赫定理成立

(2)金属中的电子波函数

弹性介质中的声波——声子晶体

电磁波——光子晶体

格波

自旋波

(3)

(3) k的意义

波矢——标明波的传播方向及波长

?k量子化后，作用量子的动量

——

(4) 倒格子空间

k在倒格子空间中取值，非连续取值：k∑n j b j/N j

=

倒格子空间与实空间具有同样的对称性

(5) k 取值的非唯一性

代表同个点对应相同的本征值k 与k + K n 代表同一个点：对应相同的本征值exp ( i k ·R l )

表示同一个k 态

取值限于第一布里渊区（任意两个波矢之差小于一个→k 取值限于第布里渊区（任意两个波矢之差小于个最短的倒格矢的区域，体积为?*）

→ N 个简约波矢（-π< k a <π，i =1,2,3）(6) 能带结构

波函数（H 与{e |R l }的共同本征函数）及能量本征值与k 有关i ,,)两边同乘(k 可得

H = -?2 2/2m + V H ψk (r )= E (k )ψk (r ) ，两边同乘exp (-i k·r )，可得H k u k (r )= E (k )u k (r )，相当于做了规范变换：

=k·r k·r )=H +22m –2m ·因为H k u k (r )= E (k )u k (r )中，u k (r ) = u k (r + R l )

k ，薛定谔方程可简化为在一个元胞内求解H k exp (-i k r )Hexp (i k r ) H + ?k /2m –(i ?/m )k

对于固定的，薛定谔方程可简化为在个元胞内求解

这样就变成了有限区域内的厄米本征值问题

——分立的能级E (k ), E (k ), ……

12每个确定的k 描述一套能级{E n (k )} 和状态{ψ n k (r )}

——k 局限于BZ ——以k = 0为中心的W-S 元胞

k k+K代表同一个状态，对应相同的能量——同一点和

n

代表同个状态，对应相同的能量同点

若取以K

n 为中心的W-S元胞求解，可得到另一套能级和k=0

ψ

n,k+K n = ψ n,k，E n(k+K n) = E n(k)

波函数，与以k 0 为中心的结果等效

虽然在BZ外无新状态，但依据上式，k可取值于全空间——而波函数与能量本征值都是倒格子的周期函数

确定n值的E

n (k)是倒格子的周期函数

故而能量有界，因而同一n而不同k的所有能级包括在界内——形成一个能带

不同的n而代表不同的能带

(7) 周期结构中的一切波的能谱（频谱）都成带——布洛赫定理

(8) k是守恒量：确定的k，电子运动不被散射

§3 布里渊区和晶体的对称性

空间群包含平移、旋转、反射、滑移反映、螺旋轴等对称操作空间群的元素→操作算符：αt r ≡ αr + t

间群的元素操作算符{|}其中α代表旋转、反映等点群对称操作，t 代表平移

e R } )——平移群

({|l })({α|0} )——点群

{α|τ}——螺旋轴或滑移反射面

算符相乘：{α|t } {β|s }={αβ |αs +t }

其逆元素：{α|t }-1= {α-1|-α-1t }

晶体空间群的定义：包括平移群作为不变子群的{α|t }的元素集合

}{-1={不变子群条件要求αR l 仍为正格矢，即点阵经旋转等点群操作后应与自身重合这就限制了晶体中只可能出现因为有：{α|t }{e|R l } {α|t }1= {e|αR l }

应与自身重合，这就限制了晶体中只可能出现

2、3、4、6次旋转轴——晶体空间群成为有限群

1布里渊区（BZ E k ) 布里渊区）中n ()的对称性

设晶体属于空间群{α|t }，则晶体的汉密顿H 应与{α|t }对易即H 对于空间群{α|t }的一切操作是不变的，有对称性：

{}{}H

H =?t t ||1αα1

2==λαλr t r 可以证明：{}||),(|)(,][,αk k n n ψψ可求出d )()()(3][,*][,r r k k k n n n r H E =∫ψψ

ααα{}{}d )(||)(3

*

3,1*,r t t r k k

n n r H ==∫?ψψ

αα)

(d )()(,,k r r k k n n n E r H =∫ψψα是只属于该晶体空间群的点群操作

在每一能带中如果把能量E n (k )看作布里渊区中“位置k ”的函数它便具有点阵点群的全部对称性此即简单空间群数，它便具有点阵点群{α|0}的全部对称性，此即简单空间群中E n (k )的对称性

例：二维正点阵BZ 为正方形变的点群为K y m C 保持BZ 不变的点群为4mm(C 4v )，有8个操作

进行上述

π/a k 2k 3d 4对于BZ 中某个矢量k 1，进行上述点群操作后，它变为k 2, k 3, k 4, k 5,

k , k , k .8个点在同一能带中K k 1k k 4m y e π/a -π/a 6,7,8，这个点在同能带中

有相同的能量：

x k 6

k 75k 8m x

C 42)(...)()(821k k k n n n E E E ===m d’C 43

-π/a 2E n (k )的简并度简并：同一k 的不同态具有相同能量本征值

)

()()(r k r k k ψψE H =设在k 点第n 个能量本征值的简并度为d n ，则有d n 个布洛赫函数故对应于同一个能量E k ,...,2,1d =r 因个n ()

))((,,n j n j k ψ这种情况往往发生在BZ 中某些高对称性的点与线上

这时点群中的某些元素对k 运算后保持k 不变（或等于k +K n ）但这些元素对布洛赫函数作用将产生具有不同对称性的一组函数，它们具有相同的k 和本征能量E n (k )

3k 波矢群

中算保持变或等的些称操点群{α|0}中对k 运算后保持k 不变（或等于k +K n ）的那些对称操作元素的集合所构成的点群

n

K k k +=αk 波矢群不可约表示的维数= k 点能级的简并度d n .

K y M π/a 例：二维正方点阵的波矢群(i) Γ点：

k = 04mm ∑Z -的波矢群即点群；这个

群可分为5个共轭元素类

'm m m m C C C e d d y x , , 34424；；，；；K x

X ?π/a Γ因此，有5个不可约表示，这些表示

的维数n 应满足∑52二维正方倒格子BZ ==18ααn 即：Γ 波矢群有4个一维和1个两维的不

可约表示即维方倒格子中高对称性的点与线

可约表示，即

4种单重态和1种双重态，在Γ 点E n (0)可能有两重简并发生

(ii) M 点K M 点波矢经4mm 的所有群元作用后仍在四

角顶点上，波矢群也为4mm——与Γ点对y M ∑π/a 称性相同——可能有两重简并发生

(iii) X 点X e,m ,m ,C 2K x X ?Z -π/a ΓX 波矢群应由e, m x , m y , C 4等4个元素组成；

这个群中各个元素自成一个共轭类，因此，

有4个一维的不可约表示

点能带为简并的

——在X 点能带为非简并的(iv) Δ,Σ,Ζ线上的点

这些点都只有两个元素构成波矢群不可约表示都是一维的这些点都只有两个元素构成波矢群，不可约表示都是一维的——E n (k )均为非简并

(v)BZ 中的一般点对于三维晶格，从点群特征标表中单位元e 的特征标将得知波(v) BZ 中的般点k 1这些点只有一个元e ，——En (k )均为非简并

矢群的不可约表示的维数，因为波矢群是32个点群之一

——从而得知E n (k ) 的简并度

4时间反演对称性

时间反演是改变时间符号（t→-t）的对称操作

无磁场时薛定谔方程对时间反演操作具有不变性；

经典力学的方程也具有时间反演不变性

根据量子力学，时间反演操作相当于

--

r→r, k→k, ?→?（自旋反向）

布洛赫函数ψn↑(k, r) 的时间反演态为ψn↓(-k, r)

量子力学已经证明时间反演对称性要求上述两个态满足同个

量子力学已经证明时间反演对称性要求上述两个态满足同一个

H 的本征方程，并具有相同的能量本征值

E k) = E-k

()n↓()

n↑

这就是著名的克喇末（Kramers）定理——与空间反演对称性无关当晶体同时具有空间反演对称性时，

E n↑(k) = E n↑(-k)，E n↓(k) = E n↓(-k)

(k) = E n↓(k)

可得：E

n↑

——同一波矢的两个不同自旋状态具有相同的能量

这一附加的两重自旋简并称为克喇末简并