圆中三角函数综合例题及练习

(2) ∠ AEO=∠ DOE, cos ∠AEO= cos∠ DOE=OD ，连 DA.证 CD=BD =2 5 ， OE
证△ CDE∽△ CDA,CD2=CE· CA=CE· (CE+1)
∴ CE =4,
DE=
CD 2
CE 2
=2, OD=
1
5
AC=
， OE=
DE 2
OD 2 =
41
,
22
2
OD 5 41
5
3
OC 10
例 5.如图，等腰△ ABC 中， AB=A C，以 AB为直径作⊙ O，
交 BC于点 D， DE⊥ AC于点 E。 (1) 求证： DE为⊙ O的切线：
C D
(2) 若 BC=4 5 ， AE=1，求 cos ∠ AEO的值。
E
B
A
O
解： (1) 连 OD, ∠ C=∠ ABC=∠ ODB. OD//AC, ∴ ∠ ODE=∠ DEC =90°
tan
C B
D
解析： 连结 BD ,由于 AB 为直径 ,则∠ ADB =90°,
PD
于是 ,在 Rt△ PBD 中 ,有 COSα = ,
PB
而点 C 和点 A 在圆周上，所以∠ A=∠ C，
又∠ APB=∠ CPD，则△ APB∽△ CPD，
从而
CD
=
PD ，所以
CD
= COSα，故选
B。
AB PB
A D
E O
C
F
B
3．如图，在△ ABC 中． AB=BC,以 AB为直径的⊙ O交 AC于点 D．过 D
作 DF⊥ BC,交 AB的延长线于点 E, 垂足为 F .
C
(1) 求证；直线 DE是⊙ O的切线；
(2) 当 AB=5，AC=8时，求 cos ∠ E的值．
D
F
A
O
B
E
4．如图， Rt△ABC 中， ∠ C=90°， BD平分 ∠ ABC，以 AB上一点 0 为圆心，
∴cos ∠ AEO== cos∠ DOE= =
OE 41
●专练
1．如图，已知 Rt△ABC和 Rt△EBC，∠ B=90°．以边 AC上的点 D 为圆心， OA 为半径的⊙ O
与 EC相切于点 D，AD∥BC.
(l) 求证： ∠ E=∠ACB:
C
(2) 若 AD=1, tan ∠ DAC= 2 ，求 BC的长． 2
(1) 求证：直线 EF 是⊙ O 的切线；
(2) 求 sin∠ E 的值。 解析：（ 1）证明：如图 5,连结 OD、 CD，
A
因为 BC 是直径，所以 CD⊥ AB， 而 AC=BC，则 D 是 AB 的中点 又因为 O 是 CB 的中点，所以 OD // AC
F
D
G
由于 DF ⊥ AC，则 OD⊥ EF ，于是 EF 是⊙ O 的切线 . （2）连结 BG，因为 BC 是直径，所以∠ BGC=90°
BC=1，那么 sin∠ ABD 的值是
．
解析： 在⊙ O 中，∠ ACD=∠ ABD ；
A O
又由于 AB 为⊙ O 的直径， CD⊥ AB，则∠ ACD =∠ ABC.
Rt△ ABC 中， AB= AC 2 BC 2 = (2 2)2 12 =3,
图1
从而 sin∠ABD = AC = 2
2
.
AB 3
D O
E
A
B
2．如图，已知点 0 是 Rt△ABC的直角边 AC上一动点，以 D为圆心， OA为半径的⊙ O交 AB 于 D 点， DB 的垂直平分线交 BC于 F, 交 BD于 E。
(l) 连结 DF，请你判断直线 DF 与⊙ O的位置关系 , 并证明你的结论 (2) 当点 D 运动到 OA=2OC时，恰好有点 D 是 AE的中点，求 tan ∠ B。
E
B
O
C
图4
在 Rt△ BCD 中， CD= AC 2 AD 2 = 102 62 =8
而 AB·CD=2 S ABC = AC·BG ,
则有 BG= AB
CD 12
=
8 48
=.
AC
10 5
在 Rt△ BCG 中， CG= BC 2 BG 2 = 10 2
又因为 BG⊥ AC ， DF ⊥ AC，所以 BG// EF,
AB
评注： 直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三
图
角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关
注直径所对圆周角。
三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形
例 3(武汉市 )如图 4，等腰三角形 ABC 中， AC＝BC＝ 10，AB＝ 12。以 BC 为直径作⊙ O
交 AB 于点 D，交 AC 于点 G， DF ⊥ AC，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E。
圆中的三角函数
解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形
.若没有现成的
直角三角形，则需根据所给的条件， 合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类
问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例 1(成都市 ) 如图 1，已知 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB ， AC 2 2 ，
评注： 借用 “同弧所对圆周角相等 ”，把要求函数值的角予以转化， 充分本现了转化思想 的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例 2(烟台市 )已知 ＡＢ 是半圆 O 的直径， 弦 AD、BC 相交于点 P，若∠ DPB =α，那么 CD AB
等于
1
A ． sin α B． COSα C． tan α D．
过 B、 D两点作⊙ O，⊙ O交 AB于点 E EF⊥ AC于点 F。
(1) 求证：⊙ O与 AC相切：
(1) 求⊙ O的半径。 (2) 求 sin ∠ BOC的值。
A
O
D
BE
C
R4R 4
证： (1) ：连 OE,OD，证四边形 OECD为正方形，设半径为 R， =
, R= ；
24
3
(2) 3 10 ，作 CM⊥ AB于 M，易求 AB=2 5 ． AB· CM=BC·AC， 10
∴ CM=4 5 , 易求 OC= 2R = 4 2 , ∴ sin ∠ BOC=CM = 3 10
( 48) 2
14
=;
5ห้องสมุดไป่ตู้
5
14
则∠ E=∠ CBG,从而
CG
sin∠ E=sin∠ CBG=
=
5
=
7
BC 10 25
评注： 挖掘图形中的隐含关系， 把已知条件中的垂直关系进行转化，
形，为求角的函数值提供便利 .
图5 从而构造直角三角
例 4. 如图， Rt △ABC 中 , ∠ ACB=90°， AC=4， BC=2, 以 AB上的一点 0 为圆心作⊙ O分别与 AC． BC相切于点 D， E。