高等数学讲义课件 第1节 第一型 曲线积分

上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
证: 略
因此
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
2 (t ) 2 (t ) d t
L
说明:
(1)sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
o 因此上述计算公式相当于“换元法”.
ds dy dx
xx
如果曲线 L 的方程为
则有
f (x, y)ds
L
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ),则
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
Γ : x φ(t), y ψ(t), z ω(t) (α t β )
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
可得
n
A
M
lim
0
k 1
(k ,k , k )sk
2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
n
记作
lim
0
k 1
f (k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
3
例4. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由轮换性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds f(x, y,z)ds.
L1 L2
L1
L2
(3).如果L是闭曲线 , 则记为 L f ( x, y)ds .
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 Ld s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作第一型曲线积分的特例 ?
3
1 a2 ds 1 a22 a
3
3
2 a3
3
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上第一型曲线积分, 或对弧长的曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
(1).如果 L是xoy面上的曲线弧,则定义第一型曲线积
n
分为
f (x, y) ds
L
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
(2). 若 L(或 )是分段光滑的,(L L1 L2)
否! 对第一型曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
3. 性质
(1) Γ f ( x, y, z) g( x, y, z)ds
f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
(2)
Γ k f (x, y, z)ds
k
f (x, y, z) ds
（k 为常数)
(3)
例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
L x ds
x
0
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
o
1x
例2. 计算
其中L为双纽线
Γ f (x, y, z)ds
f (x, y, z) ds
1
f (x, y, z) ds
2
( 由
组成)
(4) Γຫໍສະໝຸດ Baiduds l ( l 为曲线弧 的长度)
二、第一型曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
L : x (t ), y (t) ( t )
第十一章
第一节 第一型曲线积分
一、第一型曲线积分的概念与性质
二、第一型曲线积分的计算法
一、第一型曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB ,其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
(k ,k , k )
Mk Mskk1
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2 (0 4 )
利用对称性 , 得
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 2 2 a2 0
例3. 计算曲线积分 线