数学压轴题解题方法及例题

考数学压轴题解题方法

解答题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等．它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等.

(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：

1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.

审题思考中，要把握"三性"，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实"慢"中有"快"，解题方向明确，解题手段合理得当，这是"快"的前提和保证．否则,欲速则不达.

2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃．

（二）题型解析

类型1 直线型几何综合题

这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理，基本思路为分析与综合，即从需要证明的结论出发逆推，寻找使其成立的条件，同时从已知条件出发来推导一些结论，再设法将它们联系起来.对于计算，基本思路是利用几何元素（比如边、角）之间的数量关系结合方程思想来处理.

例1（2007·四川内江）如图1，在中，，，，动点（与点A、C不重合）在边上，交于点．

（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；

（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；

（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

分析：（1）中面积相等可以转化为" 与△ACB的面积比为1：2"，因为△ECF ∽△ACB，从而要求长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.

解：（1）因为△ECF的面积与四边形EABF的面积相等,所以S△ECF:S△ACB ＝1:2，又因为EF∥AB，所以△ECF∽△ACB.所以 . 因为CA＝4，所以CE ＝ .

（2）设CE的长为x，因为△ECF∽△ACB，所以 . 所以CF= . 根据周长相等可得： .解得 .

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图2，假设∠PEF＝90°，EP＝EF.由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°，

所以Rt△ACB斜边AB上高CD＝ .设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即 .解得，即EF＝ .

当∠EFP＝90°，EF＝FP时，同理可得EF＝ .

②如图3，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为 .

设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即 .解得，即EF＝ .

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或EF ＝ .

特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以需要就可能的情形进行讨论.

跟踪练习1 （2007·山东烟台）如图4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E 是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE 的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

参考答案：1、（1）四边形EGFH是平行四边形.只要说明GF//EH，GF = EH 即可.

（2）点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形.利用全等可得BE=CE，从而得EG = EH.

根据EGFH是正方形，可得EG =EH ，∠BEC = 90°.因为G、H分别是BE、CE的中点，所以EB = EC.

因为F是BC的中点，

类型2 .圆的综合题

常见形式为推理与计算综合，解答的基本思路仍然是分析-综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，这样才会简便.

例2（2007·广东茂名）如图5，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．

（1）求证：∽ .

（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明

并求出它的面积；若不是，请说明理由．

（3）延长AB到H，使BH ＝OB．求证：CH是⊙O的切线．

分析：（1）只要证即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC∥AB即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD是菱形（3）要证明"CH是⊙O的切线"，只要证明∠OCH= 即可.

解：（1）因为C是劣弧的中点，所以．因为∠DCE=∠ACD，

所以∽．

（2）四边形ABCD是梯形.

证明：连接，由⑴得 .因为，所以．由已知 .因为是⊙O的直径，所以，所以．所以 . 所以 .所以四边形OBCD是菱形．所以，所以四边形ABCD 是梯形．

过C作CF垂直AB于点F，连接OC，则，所以．

所以CF=BC×sin60 =1.5.

所以．

（3）证明：连接OC交BD于点G，由（2）得四边形OBCD是菱形，

所以且．又已知OB＝BH，所以BH平行且等于CD.所以四边形BHCD是平行四边形.所以．所以 .所以CH是⊙O的切线．

特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC∥AB.

跟踪练习2.

（2007四川绵阳）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60 ，

P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，

过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90 ，∠ABC = 30 ，∴∠Q = 30 ，∠BCO = ∠ABC = 30 ．

∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO，∴∠DCQ =30 ，∴∠DCQ =∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．