第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
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本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。 此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入－有界输出稳 定的，并简称为BIBO稳定。
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在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；
在这种假定下，系统的输入－输出描述才是唯一的和有意义的。
对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统 为BIBO稳定的充要条件是： 当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的 所有极点均具有负实部。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
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线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
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一、系统状态的运动及平衡状态
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举例
1 0 Hale Waihona Puke Baidu x 1 0 y 1 0x 1 1u
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
1
W ( s ) c ( sI A) 1 b 0 1 s 1 1 0 1 0 s 1 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
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运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t ; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
那么就可利用劳斯－赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数 来判断系统的渐近稳定性。
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三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。 证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换， 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分，而输入－输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此，系统的BIBO 稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定， 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。 结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
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二、内部稳定性
Ax Bu x y Cx Du x(0) x 0
如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式：
t
lim (t ;0, x 0 ,0) 0
则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性： 通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性 只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
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4.1 外部稳定性和内部稳 定性
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一、外部稳定性
考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足 条件：
u(t ) k1 , t t 0 ,
的输入u(t)，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：
y(t ) k 2 , t t 0 ,
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在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性，非常方便有效。 至于频域中的奈奎斯特 (Nyquist) 判据则是更为通用的方法，它 不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方 向。 上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。 早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。 前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
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对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：
Re{i ( A)} 0, i 1,2, n
其中n为系统的维数。 当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：
( s) det( sI A) s n an 1s n 1 a1s a0
这是因为具有正实部的特征 值2=+1被系统的零点s=+1对 消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。
det( I A) ( 1)( 1) 0
故系统不是内部稳定的。
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可得特征值1=－1，2=+1。
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4.2 李雅普诺夫关于稳定 性的定义
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本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。 此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入－有界输出稳 定的，并简称为BIBO稳定。
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在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；
在这种假定下，系统的输入－输出描述才是唯一的和有意义的。
对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统 为BIBO稳定的充要条件是： 当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的 所有极点均具有负实部。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
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线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
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一、系统状态的运动及平衡状态
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举例
1 0 Hale Waihona Puke Baidu x 1 0 y 1 0x 1 1u
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
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W ( s ) c ( sI A) 1 b 0 1 s 1 1 0 1 0 s 1 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
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运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t ; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
那么就可利用劳斯－赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数 来判断系统的渐近稳定性。
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三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。 证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换， 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分，而输入－输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此，系统的BIBO 稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定， 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。 结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
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二、内部稳定性
Ax Bu x y Cx Du x(0) x 0
如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式：
t
lim (t ;0, x 0 ,0) 0
则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性： 通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性 只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
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4.1 外部稳定性和内部稳 定性
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一、外部稳定性
考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足 条件：
u(t ) k1 , t t 0 ,
的输入u(t)，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：
y(t ) k 2 , t t 0 ,
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在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性，非常方便有效。 至于频域中的奈奎斯特 (Nyquist) 判据则是更为通用的方法，它 不仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方 向。 上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。 早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。 前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
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对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：
Re{i ( A)} 0, i 1,2, n
其中n为系统的维数。 当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：
( s) det( sI A) s n an 1s n 1 a1s a0
这是因为具有正实部的特征 值2=+1被系统的零点s=+1对 消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。
det( I A) ( 1)( 1) 0
故系统不是内部稳定的。
10
可得特征值1=－1，2=+1。
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4.2 李雅普诺夫关于稳定 性的定义
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