极坐标系 课件

类型 一 极坐标系与点的极坐标 【典型例题】 1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O之间的距 离为______，点M的极角为______.
2.关于极坐标的下列叙述：
①极轴是一条直线；
②极坐标(ρ,θ)表示的点不惟一；
③极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点在极轴上；
④点
(r
,
p 3
【误区警示】
【防范措施】 1.考虑问题要全面 对于极坐标问题，要充分考虑已知条件，在此条件下，考虑 多种情况的可能性，避免漏解，如本例中θ的取值就有两种情 况.
2.重视特殊三角形在综合型问题中的应用 直角三角形、等腰三角形等处在知识的交汇点处，掌握三角 形的边、角的关系是解题的关键，如本例中在直角三角形中 建立点的极角之间的关系以及运用余弦定理求两点间的距离 等.
极坐标是______________.
【解析】由题意，得
孝MOM
=
p, 4
｜MO｜= ｜OM｜?2 ｜MM｜?2 2 + 2 = 2.
所以点M的极坐标是(2,
p 4
+
2kp , )k
?
Z.
答案：(2, p4()答案不惟一)
3.在极坐标系中，与点 P(2, p ) 关于极点对称的点的坐标是
3
____________.
+
r 22
=
13.
答案： 13
2.(1)如图，在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的.
(2)由于点E的极径为4，
在θ∈［0,2π)内，极角
q = 7p , 6
又点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,θ∈R)，
所以点E的极坐标为
(4, 2kp
+
7p 6
)(k
?
Z).
同理，点F的极坐标为 (3,2kp
+
2p )(k ? 3
【解析】1.以红绿灯O为极点，正东方向为极轴正方向，建立
极坐标系，依题意，A(30,
p 6
),
B(40,
2p 3
),
由OA⊥OB,得AB = 302 + 402 = 50(m).
答案：50 m
2.(1)由题意知，台风中心距离极点800千米，极角取
5p ， 3
所以台风中心的一个极坐标为
(800, 5p ). 3
原点,x轴,y轴
极点,极轴
本质
两直线相交定点
圆与射线相交定点
2.点的极坐标的多样性 在平面直角坐标系内，对于给定的有序数对(x,y)都有惟一确 定的点与之对应，反之，对于给定一点M,也有惟一的有序实 数对(x,y)与之对应，也就是说，点与有序实数对是一一对应 的.
在极坐标系中，由于点M的极坐标不惟一，即点的极坐标可以 是(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，所以极坐标系中的点与极坐标之间 不能建立一一对应关系. 如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外,平面内的点可用惟 一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是 惟一确定的.
2.极轴是一条射线,①不正确；
点的极坐标不惟一，而极坐标(ρ,θ)表示的点是惟一的，
②不正确；
极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点是惟一的，且在极轴上，
③正确；
点
(r
,
p 3
)(r
的? 0轨) 迹是端点为极点，由极轴按逆时针方向旋
p
转 3的射线，④正确.
答案：③④
【拓展提升】极坐标系与点的极坐标的特点 (1)极坐标系是由始边、终边构成的角为背景的平面坐标系， 点M的极坐标(ρ,θ)的几何意义是 r = O∠MxO，M=θ(一般 用弧度数表示). (2)在极坐标系中，点M的极坐标不惟一，可以表示为 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，其中θ∈［0,2π).
3
(1)求台风中心的极坐标. (2)问福州是否已发布台风蓝色警报?
【解题探究】1.如何建立数学模型解决实际应用题？ 2.如何建立极坐标系求两点间的距离？ 探究提示： 1.以点O为极点，正东方向为极轴正方向建立极坐标系,求点 的极坐标再求两点间的距离. 2.在极坐标系中，点的极坐标是距离与角构成的有序数对， 正确选择极点与极轴，注意极角的始边与终边.根据极坐标研 究两点间的距离即可.
【类题试解】已知在极坐标系中，△AOB为等边三角形，
A(2, 7p )，若ρ≥0，θ∈［0,2π)，则点B的极坐标为
6
________________.
【解析】设B(ρ,θ),由
? AO得B
p, 3
q－7p = ? p 63
即
q=
7p 6
?
p 3
2由kp, k ? Z，得ρ=2O，B = 2，
又因为θ∈［0,2π)，所以 q=或32p
【解题探究】1.如何确定极坐标系中点的位置？ 2.极坐标系中点的极坐标惟一吗？ 探究提示： 1.根据点的极径与极角确定点的位置. 2.极坐标系中，如果极角的弧度数为任意实数，则点的极坐 标不惟一.
【解析】1.在极坐标系中，由于M(3,0)，N(2, p2得), OM⊥ON，
所以 MN =
r
2 1
(2)福州所在城市的极坐标为 (200, 4由3p )(,1)得，
福州距离台风中心的距离为
d = 8002 + 2002 - 2创200 800? cos p 3
= 100? 64 4 - 16 = 100 52 > 700,
所以该城市还未发布蓝色警报.
【拓展提升】建立极坐标系解题的方法技巧 (1)有关距离以及方位角、方向角的实际问题，常常建立极坐 标系解决. (2)建立极坐标系，要充分利用已知点、已知射线分别作为极 点、极轴，使所研究的点在极角的终边上. (3)根据点的极坐标，确定点与点之间的位置关系或计算夹角 与距离解决问题.
【解析】如图可知，在极坐标系中，
与点 P(2,关p3 )于极点对称的点的坐
标是
(2，-
2p 3
+
2kp), k ?
Z.
答案：(2，- 2(3p答) 案不惟一)
1.极坐标系与平面直角坐标系的区别
平面直角坐标系
极坐标系
定位方式 横坐标、纵坐标
角度和距离
点与坐标 点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应
外在形式
二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念
极坐标系与点的极坐标 1．极坐标系：在平面内取一个定点O， 叫做_极__点__，自极点O引一条射线Ox， 叫做_极__轴__；再选定一个长度单位、一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 就建立了极坐标系.
2.点的极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫 做点M的_极__径__,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM叫做点M的_极__角__,记为θ. 有序数对_(_ρ__,_θ__)_叫做点M的极坐标,记为M _(_ρ__,_θ__)_；一般 地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ∈R.
Z).
【互动探究】若题2(2)中条件不变，如何求|EF|? 【解析】极坐标系中，由于OE⊥OF,且ρE=4,ρF=3, 由勾股定理，得 EF = 32 + 42 = 5.
【拓展提升】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式 (1)在极坐标系中，点的极坐标不惟一，这是由于与角θ1的终 边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}. 如果限定ρ≥0,θ∈［0,2π)，那么，除极点外，点与有序数对 (ρ,θ)可以建立一一对应关系.
)(r
?
0)
的轨迹是端点为极点的射线.
其中正确的是___________ (填序号).
【解题探究】1.点的极坐标的意义是什么？ 2.理解极坐标系的概念的关键是什么？ 探究提示： 1.极坐标是点到极点的距离与角的弧度数构成的有序数对. 2.理解极坐标系的概念关键要明确极点、极轴、极径与极角 等.
【解析】1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O 之间的距离为1，点M的极角为π. 答案：1 π
2kp, k ? Z，
由 AB =得5，
r 2 + 32－2创3 r cos(2kp ? p ) 5， 2
所以ρ2=42 ⇒ρ=4(因为ρ≥0).
又θ∈［0,2π)，得 q = 2p 或5p ，②
33
所以点B的极坐标为 (4, 23p或)
(4, 5p ). 3
答案： (4, 23p或)
(4, 5p ) 3
Hale Waihona Puke Baidu
类型 二 点与极坐标的对应关系以及距离公式
【典型例题】
1.在极坐标系中，M(3,0)，N(2, p ),则|MN|=______.
2
2.如图，在极坐标系中，
(1)作出以下各点：
A(5,0), B(3, p ),C(4, 3p ), D(2,－3p ).
6
2
2
(2)求点E,F的极坐标(ρ,θ)
(ρ≥0,θ∈R).
类型 三 极坐标法解决实际应用问题 【典型例题】 1.在某红绿灯O东偏北30°处有一图书馆A,OA=30 m,学校B在 红绿灯的北偏西30°，OB=40 m,则AB=_______. 2.如图,以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方向，建 立极坐标系，今有某台风中心在东偏南60°，距离极点800千 米处，假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报, 已知福州所在城市的极坐标为 (200, 4p ).
5p . 6
所以点B的极坐标为 (2, 32p或)
(2, 5p ). 6
答案： (2, 32或p )
(2, 5p ) 6
2kp, k ? Z,
(2)在极坐标系中，如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间
的距离公式 P1P2 =
r
2 1
+
r 22－2r的1r 2两co种s(q特1－殊q2 )情形
为：
①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时， P1P2 = r1－r 2 ； ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时， P1P2 = r1 + r 2 .
1.点与极坐标可以建立一一对应关系吗？ 提示：由于极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)都有惟 一确定的点与之对应，但是，对于给定一点M,可以有无数个 有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应，所以极坐标系中的点 与极坐标不能建立一一对应关系.
2.如图所示，已知△OM′M是等腰直角
三角形，且｜OM′｜= 2 ,则点M的一个
【易错误区】忽视极角的意义而漏解致误
【典例】已知极坐标系中，O为极点，A(3, p ),OA ^ OB, AB = 5,
6
若ρ≥0，θ∈［0,2π)，则点B的极坐标为__________.
【解析】设B(ρ,θ),由OA⊥OB,得
q－p = ? p 62
2kp, k ? Z① ,
即 q=
p? 6
p 2