2019年广东省深圳实验、珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题及答案

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2019.5

广东省六校（广州二中，深圳实验立等）高三第一次联考理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则∁（）A. B. C. D.

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.

3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.

4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为，珠海一中，

中山纪念，东莞中学，惠州一中（）A. B. C. D.

5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且

、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

6.在△中，为的中点，点满足，则（）

A. B. C. D.

7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）

A. B. C. D.

8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有

成立，则的最小值为（）A. B. C. D.

9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）

A. B. C. D.

10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）

A. B. C. D.

11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，

则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.

12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常

数），，则的最小值是（）A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．

14.若，则的展开式中常数项为______________．

15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则

的值为______________．

16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；（2）若，，求△的面积．

18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：

底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：

（1）求该市每辆纯电动汽车地方财政补贴的均值；

（2）某企业统计其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：

（同一组数据用该区间的中点值作代表）

2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．

该企业现有两种购置方案：

方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；

方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．

假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．

20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．

21.已知函数．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．

22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形

周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．

23.已知，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，

惠州一中）

高三第一次联考理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则∁

A. B. C. D.

【详解】由，即，解得或，即，

∁，解得，即，则∁，故选A.

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）

A. B. C. D.

【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.

3.记为等差数列的前项和，若，，则（）

A. B. C. D.

【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，

，整理得，解得

方法二：性质法，，，，

；；，故选D.

4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为

A. B. C. D.