概率论与数理统计第七章

例如
（1）为了研究人们的市场消费行为，我们要 先搞清楚人们的收入状况。
假设某城市人均年收入X∼N(, 2)。但参数 和 2 的具体值并不知道，需要通过样本来估计。
（2）假定某城市在单位时间(譬如一个月)内
交通事故发生次数 X ∼ p()。
参数未知，需要从样本来估计。
点估计
参数估计 区间估计
总体的分布函数形式已知，但它的一个或多个参 数未知，借助总体X的一个样本来估计总体未知参 数的值的问题称为参数的点估计问题。
一、估计量和估计值
定义 设X1, … , Xn是总体X的一个样本, 其分布函
数为F(x; ) , 。其中为未知参数, 为参数空
间, x1, x2,…, xn是相应的样本值。点估计问题就是
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1, X2,…, Xn是取自X的样本, 求参数α的矩估计。
解:
1 E( X )
1 x( 1)xdx
0
( 1) 1 x 1dx 1
0
2
解得 21 1 ,
矩估计法的具体做法如下
设总体的分布函数中含有k个未知参数1,2, ,k 。
(1) 写出总体的前k阶矩μ1, μ2, , μk ,一般是这 k 个 未知参数的函数, 记为：
μi μi (θ1,θ2 , ,θk ) i=1, 2, … , k
(2)从这 k 个方程中解出
θj θj ( μ1, μ2 , , μk ) j=1, 2, …, k
(3) 那么用诸 μi 的估计量 Ai 分别代替上式中的诸 μi ,
即可得诸 θj 的矩估计量 ：
θˆ j θj ( A1, A2 , , Ak ) j=1, 2,…, k
即
1 1(1,2 , ...,k ) 1 1(1, 2 , ..., k )

2
要构造一个适当的统计量 。ˆ( X 1 , , Xn ) 用其观察值 ˆ(x1 , x2,..., xn ) 来估计未知参数，称 为 的估计值,ˆ( X 1 , , Xn )为 的估计量。
注：在不致引起混淆的情况下, 称估计量和估计
值为估计, 并都记为ˆ ；
二、寻求估计量的方法
1. 矩估计法 2. 最大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 这里我们主要介绍前面两种方法。

2 (1,2 , ...,k
)
2 2(1, 2 , ..., k )


k k (1,2 , ...,k ) k k (1, 2 , ..., k )
以Ai分别代替上式的 i , i 1, 2, ...k, 可得
i 的矩估计量 ˆi i ( A1, A2,..., Ak ), i 1, 2,..., k.
1. 矩估计法（简称“矩法” ） 矩法是基于一种简单的“替换”思 想建立起来的一种估计方法 。
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。
依据：(1) 样本矩Al

1 n
n i 1
X
l i
依概率收敛于相应
的总体矩 l , l 1, 2, .., k.
(2) 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总 体矩的连续函数。
1 1
由矩法, 可得α的据估计量 ˆ 2X 1 ,Baidu Nhomakorabea
1 X
矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体 是什么分布。
缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布 提供的信息。一般场合下, 矩估计量不具有唯一 性。
其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体 矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。
矩估计量的观察值称为矩估计值。
例7.1 设总体 X 在 [ a , b ] 上服从均匀分布 ,
a , b 未知。X1, , Xn 是来自 X 的样本 , 试求 a , b 的矩估计量。
解：
μ1 E X

ab 2
μ2 E X 2 D( X ) [E( X )]2
(b a)2
解：
μ1 E( X ) μ

μ2

E(X
2)

D( X
)

[E(X
)]2

σ2

μ2
解得
μ μ1
σ
2

μ2

μ12
于是
μ ,σ2 的矩估计量为
μˆ

A1

X


σˆ
2


A2

A12

1 n
n i 1
X
2 i

X2

1 n
n
(Xi
i 1

X )2
例7.3 设总体X的概率密度为

A1


bˆ A1
3( A2 A12 ) X 3( A2 A12 ) X
3
n
n
(Xi
i 1

X )2
,
3
n
n
(Xi
i 1

X )2
.
样本矩
例7.2 设总体 X 的均值 μ 和方差σ2( 0) 都存
在 , μ ,σ2 未知 。 X1, , Xn 是来自 X 的样本 , 试 求 μ ,σ2 的矩估计量 。
• 计算机科学学院 • 裘国永
第七章 参数估计
总体是由总体分布来刻画的。
总体分布类型的判断──在实际问题中，我们根据 问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计 方法，有时可以判断总体分布的类型。
总体分布的未知参数的估计──总体分布的参数往 往是未知的，需要通过样本来估计。通过样本来 估计总体的参数。称为参数估计，它是统计推断 的一种重要形式。
(a b)2
12
4
即
a b b a
2 μ1 12( μ2

μ12 )

a b

μ1 μ1

3( μ2 μ12 ) 3( μ2 μ12 )
以Ai分别代替上式的 i , i 1, 2,
可得 a , b 的矩估计量为
总体矩

aˆ
例如， X∼N(, 2), 若, 2未知, 通过构造样本的函数，给出它
们的估计值或取值范围就是参数估计的内容。
点估计 区间估计
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值。
§7.1 点估计
要求： （1） 理解参数的点估计、估计量和估计值的概 念。 （2）掌握矩估计法和最大似然估计法。