最新版工程数学精品课件第四节 卷积
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第四节
卷积
一 卷积的概念
二 卷积定理
-1-
一 卷积的概念
在第一章中定义了函数 f ( t )与g( t ) 的卷积
f ( t ) g( t )
f ( ) g( t )d
在拉氏变换中一个函数 f ( t ) 的拉氏变换与 f ( t ) 在
t 0 的定义是无关的， 因此如果规定：当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0, 则当 t 0 时，有
-4-
二 卷积定理
定理 设函数 f ( t )、g( t ) 满足拉氏变换存在定理
且 ℒ [ f ( t )] F ( s ), ℒ [ g ( t )] G ( s ) 则 的条件， ℒ [ f ( t ) g( t )] F ( s )G ( s ) 或
(2.4.2)
ℒ
1
[F ( s)G( s)] f (t ) g(t )
例1 求 sin at sin at
解
sin at sin a cos a d cos at sin a sin a d
0 0
sin at sin at sin a sin a( t )d
t 0 t
t
1 1 cos at sin 2at 3 sin at t cos at 2a 2 4a 1 t sin at cos at 2a 2
2t
解
s s1 1 2 2 2 2 2 2 ( s 2 s 2) [( s 1) 1] [( s 1) 1]
-8-
s1 t ] e cos t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1
1 t ] e sin t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1
所以
s s1 1 ]ℒ [ 2 ] ℒ [ 2 2 2 ( s 2 s 2) ( s 2 s 2) 1 ℒ 1 [ ] 2 2 ( s 2 s 2)
1
(e t cos t ) (e t sin t ) (e t sin t ) (e t sin t )
f ( t ) g( t )
0
f ( ) g( t )d
t 0
f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d
-2-
t
f ( ) g( t )d
0
解
由于ℒ
1
1 [ 2] t s
ℒ
1
1 [ ] e 2t s2
-7-
ℒ
1
t 1 2t [ 2 ] t e e 2( t )d 0 s ( s 2) 2t
e
t
0
e 2 d
t 2 t 1 2 t 1 e [ e e ] 2 4 4 1 2t [e 2t 1] 4 s 1 ] 例4 求 ℒ [ 2 2 ( s 2 s 2)
e cos e ( t ) sin( t )d
0
-9-
Fra Baidu bibliotek
t
e sin e ( t ) sin( t )d
0
t
e
t
cos sin(t )d e sin sin(t )d
t 0 0
t
t
1 t 1 t e t sin t e (sin t t cos t ) 2 2 et ( t sin t t cos t sin t ) 2
st
[证 ]
ℒ [ f ( t ) g( t )] 0 f ( t ) g( t )e dt
t
t
e dt f ( ) g( t )d
st 0 0
t
-5-
0
f ( )d
g( t )e st dt
在里面的积分中令 u t
t
定义 分
设函数 f ( t )与g( t ) 在 t 0 时有定义，称积
为函数 f ( t )与g( t ) 的卷积， 记为 f ( t ) g ( t ), 即
t
0
f ( ) g( t )d
t
( t 0)
(2.4.1)
f ( t ) g( t ) f ( ) g( t )d
0
f ( )d
0
g( u)e s ( u )du
0
0
f ( )e d
s
1
g( u)e
su
du
证毕
F ( s )G ( s )
例2 解
求ℒ
1 [ 2 ] 2 ( s 4)
2 由于 ℒ [sin 2t ] 2 s 4
-6-
1 1 2 2 ] 原式 ℒ [ 2 2 s 4 s 4 4 1 sin 2t sin 2t 4 1 t sin 2 sin 2( t )d 4 0 1 t sin 2t cos 2t 16 8 1 1 ] 例3 求 ℒ [ 2 s ( s 2)
0
卷积有如下的性质 （1） f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t )
（交换律）
（2） f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ) （分配律）
-3-
（3） ( f1 ( t ) f 2 ( t )) f 3 ( t ) f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) （结合律） （4） | f1 ( t ) f 2 ( t ) || f1 ( t ) | | f 2 ( t ) |
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卷积
一 卷积的概念
二 卷积定理
-1-
一 卷积的概念
在第一章中定义了函数 f ( t )与g( t ) 的卷积
f ( t ) g( t )
f ( ) g( t )d
在拉氏变换中一个函数 f ( t ) 的拉氏变换与 f ( t ) 在
t 0 的定义是无关的， 因此如果规定：当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0, 则当 t 0 时，有
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二 卷积定理
定理 设函数 f ( t )、g( t ) 满足拉氏变换存在定理
且 ℒ [ f ( t )] F ( s ), ℒ [ g ( t )] G ( s ) 则 的条件， ℒ [ f ( t ) g( t )] F ( s )G ( s ) 或
(2.4.2)
ℒ
1
[F ( s)G( s)] f (t ) g(t )
例1 求 sin at sin at
解
sin at sin a cos a d cos at sin a sin a d
0 0
sin at sin at sin a sin a( t )d
t 0 t
t
1 1 cos at sin 2at 3 sin at t cos at 2a 2 4a 1 t sin at cos at 2a 2
2t
解
s s1 1 2 2 2 2 2 2 ( s 2 s 2) [( s 1) 1] [( s 1) 1]
-8-
s1 t ] e cos t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1
1 t ] e sin t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1
所以
s s1 1 ]ℒ [ 2 ] ℒ [ 2 2 2 ( s 2 s 2) ( s 2 s 2) 1 ℒ 1 [ ] 2 2 ( s 2 s 2)
1
(e t cos t ) (e t sin t ) (e t sin t ) (e t sin t )
f ( t ) g( t )
0
f ( ) g( t )d
t 0
f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d
-2-
t
f ( ) g( t )d
0
解
由于ℒ
1
1 [ 2] t s
ℒ
1
1 [ ] e 2t s2
-7-
ℒ
1
t 1 2t [ 2 ] t e e 2( t )d 0 s ( s 2) 2t
e
t
0
e 2 d
t 2 t 1 2 t 1 e [ e e ] 2 4 4 1 2t [e 2t 1] 4 s 1 ] 例4 求 ℒ [ 2 2 ( s 2 s 2)
e cos e ( t ) sin( t )d
0
-9-
Fra Baidu bibliotek
t
e sin e ( t ) sin( t )d
0
t
e
t
cos sin(t )d e sin sin(t )d
t 0 0
t
t
1 t 1 t e t sin t e (sin t t cos t ) 2 2 et ( t sin t t cos t sin t ) 2
st
[证 ]
ℒ [ f ( t ) g( t )] 0 f ( t ) g( t )e dt
t
t
e dt f ( ) g( t )d
st 0 0
t
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0
f ( )d
g( t )e st dt
在里面的积分中令 u t
t
定义 分
设函数 f ( t )与g( t ) 在 t 0 时有定义，称积
为函数 f ( t )与g( t ) 的卷积， 记为 f ( t ) g ( t ), 即
t
0
f ( ) g( t )d
t
( t 0)
(2.4.1)
f ( t ) g( t ) f ( ) g( t )d
0
f ( )d
0
g( u)e s ( u )du
0
0
f ( )e d
s
1
g( u)e
su
du
证毕
F ( s )G ( s )
例2 解
求ℒ
1 [ 2 ] 2 ( s 4)
2 由于 ℒ [sin 2t ] 2 s 4
-6-
1 1 2 2 ] 原式 ℒ [ 2 2 s 4 s 4 4 1 sin 2t sin 2t 4 1 t sin 2 sin 2( t )d 4 0 1 t sin 2t cos 2t 16 8 1 1 ] 例3 求 ℒ [ 2 s ( s 2)
0
卷积有如下的性质 （1） f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t )
（交换律）
（2） f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ) （分配律）
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（3） ( f1 ( t ) f 2 ( t )) f 3 ( t ) f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) （结合律） （4） | f1 ( t ) f 2 ( t ) || f1 ( t ) | | f 2 ( t ) |
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