整体代入法巧解数学难题-非常实用

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

一．数与式中的整体思想

【例1】 已知代数式3x 2

－4x+6的值为9，则的值为 ( )

A ．18

B ．12

C ．9

D ．7

相应练习：

1. 若代数式2

425x x -+的值为7，那么代数式2

21x x -+的值等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．4

2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=

3.先化简，再求值，其中a 满足a 2

－2a －1=0．

【例2】.已知

114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.

125 D.2

7

-

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出

11a b

-的形式，再整体代入求解．

【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．

【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3

-2m +2005的值．

应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32

259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值. 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知241

22

x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是

【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511

x ay x by -=⎧⎨

+=⎩的解为5

6x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，

y 的二元一次方程组

3()()5

()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩的解为为

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便． 【例6】．解方程 2

25

23423x x x x

+-=

+

总结：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设

2234y x x =+-，将方程变形为5

4

y y =

+来解． 对于形如2(

)5011x x x x +-=--这样的方程只要设1

x y x =-，从而将方程变形为一元二次方程

来求解，原方程的解为 。

课堂练习：

1．当代数式-b 的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

2．用换元法解方程(x 2

+x) 2

+2(x 2

+x)－1=0，若设y=x 2

+x ，则原方程可变形为 ( ) A ．y 2

+2y+1=0 B ．y 2

－2y+1=0 C ．y 2

+2y －1=0 D ．y 2

－2y －1=0 3．当x=1时，代数式x 3

+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3

+bx+7的值为( )

A ．7

B ．10

C ．11

D ．12

4．若方程组31,

33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩

的解x ，y 满足0

A ．－4

B ．－1

C ．0

D ．k>－4 5．(08芜湖)已知，则代数式的值为_________． 6．已知x 2

－2x －1=0，且x<0，则=_____． 7．如果(2

+b 2) 2

－2(2

+b 2

)－3=0，那么2

+b 2

=___．

8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．

9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2

10．(07泰州)先化简，再求值：

，其中是方程x 2

+3x+1=0的根． 11.(08苏州)解方程：．

12、已知a 是方程2

200910x x -+=一个根，求22

2009

20081

a a a -+

+的值.

1、 若0422

=--a a , 求代数式2]3)2()1)(1[(2÷--+-+a a a 的值.

2、已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-(a 2

-a-4)-a 的值.

3、已知 3 x =a, 3y =b, 那么3 x+y

= 4、212m

-=，求34m

+的值． 已知

y

xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值 6、⑴已知,0132

=+-x x 求22

1x

x +的值.⑵若31

=+x x ,求12

42++x x x 的值.

7如果(2+b 2) 2－2(2+b 2)－3=0，那么2+b 2

=_________．