概率论与数理统计总复习公式概念定理

复习资料

概率论与数理统计总复习

第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算

互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω-

差事件：A B - 即

A 发生但

B 不发生的事件

切记：

()A B AB A AB A B B -==-=-U

2. 概率的性质 单

调

性

：

若

B

A ⊂，则

)()()(A P B P A B P -=-

加法定理：)()()()

(AB P B P A P B A P -+=Y

)()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y

)()()(ABC P CA P BC P +--

例1 设,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ⊃⊃=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=-

()()P A P C =- （AC C =Q ）

故

()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-=

由此

()()()P AB C P AB P ABC -=-

()()P AB P C =-

（ABC C =Q ）

0.50.30.2=-=

注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质

计算。

3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式

全概率公式

1()()(/)n

i i i P A P B P A B ==∑

贝叶斯公式（求事后概率）

例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。

解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2),

B ——第3次摸出两个新球

∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中

;

)/()()(A B P A P AB P =()(/)

(/)()

i i i P B P A B P B A P A =2

()()(|)

k

k

k P B P A P B A ==∑201102

244224012222

666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002

334242012

222666631

(|)(|)(|)151515

C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======

故

4. 事件的独立性 A 与B 独立→P (AB )=P (A )P (B ) → P (B/A )= P (B )

A 与

B 互不相容→ AB=φ→ P (A ∪B )=P (A )+P (B ) 注：n （>2）个事件两两独立与相互独立的区别！

例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P (A )P (B )=____

第二、三章 随机变量及其分布

1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；

2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；

3. 随机变量落在某区间（域）的概率 ()(),()()x X X x P X x f t dt P X x f t dt +∞

-∞≤=≥=⎰⎰

5. 随机变量函数的分布

1） 公式法

4

()0.1625

P B =={(,)}(,)G

P X Y G f x y d σ

∈=⎰⎰[()](),

()0,

X Y f h y h y y f y αβ

'⎧⋅<<=⎨

⎩其他

()()

()y g x X x h y f x ==⇒

2） 分布函数法

注意画图分段讨论 6. 随机变量的独立性 若 X 、Y 相互独立⇔ ⇔(,)()()X Y F x y F x F y =

试考虑其它等价条件

注：若 X 、Y 相互独立()()()E XY E X E Y ⇒= 反之不成立。 见习题四 21

例4 设X,Y 联合概率密度如下，问它们是否相互独立

8,01(,)0,xy x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩

其它 解：X,Y 的边缘概率密度为

1

284(1),01

f ()(,)0x X xydy x x x x f x y dy +∞

-∞

⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰

其它

()(,)()()()(,)()()X Y i i X Y X Y X Y P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i f z f x z x dx f x f z x dx +∞+∞+-∞-∞⎧+====-===-⎪⎪⎨

⎪

=-=-⎪⎩

∑∑⎰⎰与独立

与独立(){(,)}Z F z P g X Y z =≤⇒

()

()

Z Z f z F z '={,}{}{}

P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤