第八章晶体内部结构的微观对称和空间群2015讲解
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所选取的平行六面体应能反映结点分 布固有的对称性；
在上述前提下，所选取的平行六面体 棱与棱之间的直角力求最多；
在满足以上两条件的基础上，所选取 的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
划分7种平行六面体
对应于7个晶系 形状及参数？
4mm
十四种空间格子
十四种空间格子
晶体微观对称元素
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3个90度 后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移轴，
可以剔除，所以， 43相当于旋转270度移距1/4T，也即反向 旋转90度移距1/4T 。
所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
表示行列方向的符号，[x y z]
Z
若行列经过坐标原点，
把该行列上距原点最近 的结点坐标x，y，z放在 “[ ]”内，
[xyz]即为该行列的行 列符号。
[111]
Y
X
[001] [100]
[101] [010]
[011]
[110]
[ 201]
④面网符号
(111) (210)
(110)
行列。
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数 （a、b、c；、、）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常 数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中 我们可以得到晶胞参数的具体数值。
(020)
(010)
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
三、晶体内部结构的对称要素
研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性，除了 平移对称外，晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转、反映 对称。并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产 生内部结构特有的一些对称要素：
平移轴(translation axis) 螺旋轴(screw axis)： 滑移面(glide plane)
空间群的国际符号和圣佛利斯符号
空间群的国际符号
空间群的国际符号包含了空间格子类型, 对称元素及其 相互之间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母， 是平移群的符号，即布拉维格子（P、C（A、B）、I、F） 的符号；后一部分与对称型（点群）的国际符号基本相同， 只是其中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应的内 部结构对称要素的符号。如L4对应的国际符号为P4、P41、 P42、 P43、 I4和 I41。 优点：可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。 缺点：同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成 不同的国际符号。
晶体微观对称元素
滑移面(glide plane)
滑移面按其滑移的方向和距离可分为a、b、c、n、d五种。 其中a、b、c为轴向滑移，移距分别为 1/2a， 1/2b，1/2c。
n为对角线滑移，移距为1/2（a+b）or 1/2（b+c）等。 d为金刚石型滑移，移距为 1/4（a+b）等。
一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中 所有平移轴的集合，称为平移群；另一部分就是点群, 即晶 体宏观对称要素的集合。
空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型（点 群）可产生多个空间群，所以32个对称型（点群）可产生 230种空间群。
空间群的表示方法与对称型的符号一致，共两种：即国际符 号和圣佛利斯符号。
三对面的中心。
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？ 但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有 一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因 此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis 于1848年最先推导出来的） 举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点， 则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立 方底心格子。
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移的距 离t 应为（s/n）·T，其中 t 称为螺距。螺旋轴据其轴次 和螺距可分为21；31、32；41、42、43；61、62、 63、 64、65共11种。
它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T；而43意为 按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。那么， 41和43是什么关 系？
单斜体心格子转变 为单斜的底心格子
四方底心→四方原始格子
四方面心格子转变为体心格子
三方体心转变为三方原始格子
菱面体面心格子重组为原始格子
空间格子的划分
Why not 7 × 4 = 28 ??
原始格子（P） 底心格子（C） 体心格子（I）
面心格子（F）
三斜
C=I
I=F
F=P
单斜
I=F
F=C
晶体微观对称元素
滑移面(glide plane):
亦称象移面, 是一种复合的对称要素。其辅助几何要素 有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方 向。相应的对称操作为：对于此平面的反映和沿此直 线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结 点间距的一半。
• 分为a, b, c, n, d 等5种
有2, 3, 4, 6 次四个轴次, 分为21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65等11种
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)- ns
21 31、32 41、42、43 6l、62、63、64、65
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。
2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体
的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和
体中心。 4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
十四种空间格子
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
十四种空间格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称 思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
三斜面心→三斜原始格子
三斜I＝三斜P
三斜C＝三斜P
单斜体心→单斜底心
单斜底心→单斜原始
单斜B心格子转变为单斜原始格子
单斜面心格子转变 为单斜的底心格子
空间群
空间群的国际符号
格子类型
123
Pnma (#62)
晶系
等轴 四方 斜方 单斜 三斜 三六方
三个位所表示的方向(依次列出)
1
2
3
1
2
c
a+b+c a+b [001] [111]
c
a
a+b [001] [100]
a
b
c
[100] [010]
b 任意方向
[010] 任意方向
c
a
2a+b [001] [100]
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
十四种空间格子 空间点阵中结点、行列和面网的指标 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
举例：闪锌矿、NaCl晶体、金刚石
晶体微观 对称元素
滑移面(glide plane)
a、b、c、n、d
晶体中可能的 对称元素及其 符号
四、空间群
空间群(space group)的概念
晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空间群共有230 种，空间群亦称之为费德洛夫群（Fedrov group）或圣佛利 斯群（Schoenflies group） 。
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
8.3 空间格子中点的坐标、行列及面网符号
① 空间格子中坐标系的建立 Z
坐标轴 单位平行六面体三条棱的方向。
坐标原点 单位平行六面体的角顶。
c
b
a
Y
坐标轴度量单位
wenku.baidu.com
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
斜方
四 方
C=P
F=I
与本晶系对称
三 方
不符
I=F
F=P
六
与本晶系对称
与空间格子
与空间格子
方
不符
条件不符
条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型 举例：金红石和石盐晶体模型
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想 的直线及与之平行的直线方向。相应的对称操作为：围绕 此直接旋转一定角度，沿此直线方向平移一定距离后，结 构中的每一质点都与其相同的质点重合。 螺旋轴的国际符号一般写成ns。n为轴次，s为小于n的 自然数。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
称要素。
空间群
所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特 点，一般采用两种符号并用。例如：
金红石：D4h14——P42/mnm 它的点群是什么？格子类型是什么？在 什么方向 有什么对称要素？
金刚石：Oh7——Fd3m 闪锌矿：Td2——F43m
空间群
空间群与对称型（点群）的区别
1/2
1/4 0
41
3/4 0
43
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距应为 3/4T。即螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
凡0<s<n/2者，为右旋螺旋轴（包括31、41、61、62）； 凡n/2<s<n者，为左旋螺旋轴（包括32、43、64、65）； 而s=n/2者，为中性螺旋轴（包括21、42、63）。
有限图形（晶体形态）------无限图形（晶体结构） 点操作（有一个点不动）------ 空间操作 m，Ln，c； ------ m，Ln，ns，a、b、c、d、n；
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
• 晶体结构中的行列均是平移轴 • 平移轴有无限多
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
Rhombohedral
= = 90o = 120o = = 90o
a1 = a2 c
a1 = a2 = a3
a1
P
a2
F
I
Isometric
= = = 90o a1 = a2 = a3
二、空间格子中结点、 行列和面网的指标
X
单位平行六面体的棱长a、b、c 。
②空间格子中点的坐标
x，y，z
用单位平行六面体的 棱长a、b、c作为坐标 轴度量单位时的坐标系 数。
X
Z 0,0,1
c 0,0,1/2 0,0,0 b
a
1/2,1/2,0 1,0,0,
Y 0,1,0,
③行列（晶向）符号(Crystal directions)
在上述前提下，所选取的平行六面体 棱与棱之间的直角力求最多；
在满足以上两条件的基础上，所选取 的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
划分7种平行六面体
对应于7个晶系 形状及参数？
4mm
十四种空间格子
十四种空间格子
晶体微观对称元素
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3个90度 后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移轴，
可以剔除，所以， 43相当于旋转270度移距1/4T，也即反向 旋转90度移距1/4T 。
所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
表示行列方向的符号，[x y z]
Z
若行列经过坐标原点，
把该行列上距原点最近 的结点坐标x，y，z放在 “[ ]”内，
[xyz]即为该行列的行 列符号。
[111]
Y
X
[001] [100]
[101] [010]
[011]
[110]
[ 201]
④面网符号
(111) (210)
(110)
行列。
十四种空间格子
3．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、 b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数 （a、b、c；、、）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态中我们可以得到各晶系的晶体常数特 点，是根据晶轴对称特点得出的。 宏观上的晶体常 数与微观的晶胞参数是对应的，但微观的晶体结构中 我们可以得到晶胞参数的具体数值。
(020)
(010)
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
三、晶体内部结构的对称要素
研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性，除了 平移对称外，晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转、反映 对称。并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产 生内部结构特有的一些对称要素：
平移轴(translation axis) 螺旋轴(screw axis)： 滑移面(glide plane)
空间群的国际符号和圣佛利斯符号
空间群的国际符号
空间群的国际符号包含了空间格子类型, 对称元素及其 相互之间的关系。分两个部分：前一部分为大写英文字母， 是平移群的符号，即布拉维格子（P、C（A、B）、I、F） 的符号；后一部分与对称型（点群）的国际符号基本相同， 只是其中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应的内 部结构对称要素的符号。如L4对应的国际符号为P4、P41、 P42、 P43、 I4和 I41。 优点：可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。 缺点：同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成 不同的国际符号。
晶体微观对称元素
滑移面(glide plane)
滑移面按其滑移的方向和距离可分为a、b、c、n、d五种。 其中a、b、c为轴向滑移，移距分别为 1/2a， 1/2b，1/2c。
n为对角线滑移，移距为1/2（a+b）or 1/2（b+c）等。 d为金刚石型滑移，移距为 1/4（a+b）等。
一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中 所有平移轴的集合，称为平移群；另一部分就是点群, 即晶 体宏观对称要素的集合。
空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型（点 群）可产生多个空间群，所以32个对称型（点群）可产生 230种空间群。
空间群的表示方法与对称型的符号一致，共两种：即国际符 号和圣佛利斯符号。
三对面的中心。
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？ 但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有 一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因 此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis 于1848年最先推导出来的） 举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点， 则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立 方底心格子。
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移的距 离t 应为（s/n）·T，其中 t 称为螺距。螺旋轴据其轴次 和螺距可分为21；31、32；41、42、43；61、62、 63、 64、65共11种。
它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T；而43意为 按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。那么， 41和43是什么关 系？
单斜体心格子转变 为单斜的底心格子
四方底心→四方原始格子
四方面心格子转变为体心格子
三方体心转变为三方原始格子
菱面体面心格子重组为原始格子
空间格子的划分
Why not 7 × 4 = 28 ??
原始格子（P） 底心格子（C） 体心格子（I）
面心格子（F）
三斜
C=I
I=F
F=P
单斜
I=F
F=C
晶体微观对称元素
滑移面(glide plane):
亦称象移面, 是一种复合的对称要素。其辅助几何要素 有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方 向。相应的对称操作为：对于此平面的反映和沿此直 线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结 点间距的一半。
• 分为a, b, c, n, d 等5种
有2, 3, 4, 6 次四个轴次, 分为21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65等11种
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)- ns
21 31、32 41、42、43 6l、62、63、64、65
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。
2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体
的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和
体中心。 4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
十四种空间格子
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
十四种空间格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称 思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
三斜面心→三斜原始格子
三斜I＝三斜P
三斜C＝三斜P
单斜体心→单斜底心
单斜底心→单斜原始
单斜B心格子转变为单斜原始格子
单斜面心格子转变 为单斜的底心格子
空间群
空间群的国际符号
格子类型
123
Pnma (#62)
晶系
等轴 四方 斜方 单斜 三斜 三六方
三个位所表示的方向(依次列出)
1
2
3
1
2
c
a+b+c a+b [001] [111]
c
a
a+b [001] [100]
a
b
c
[100] [010]
b 任意方向
[010] 任意方向
c
a
2a+b [001] [100]
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
十四种空间格子 空间点阵中结点、行列和面网的指标 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
举例：闪锌矿、NaCl晶体、金刚石
晶体微观 对称元素
滑移面(glide plane)
a、b、c、n、d
晶体中可能的 对称元素及其 符号
四、空间群
空间群(space group)的概念
晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空间群共有230 种，空间群亦称之为费德洛夫群（Fedrov group）或圣佛利 斯群（Schoenflies group） 。
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
8.3 空间格子中点的坐标、行列及面网符号
① 空间格子中坐标系的建立 Z
坐标轴 单位平行六面体三条棱的方向。
坐标原点 单位平行六面体的角顶。
c
b
a
Y
坐标轴度量单位
wenku.baidu.com
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
斜方
四 方
C=P
F=I
与本晶系对称
三 方
不符
I=F
F=P
六
与本晶系对称
与空间格子
与空间格子
方
不符
条件不符
条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
十四种空间格子
请判断CsCl的格子类型 举例：金红石和石盐晶体模型
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想 的直线及与之平行的直线方向。相应的对称操作为：围绕 此直接旋转一定角度，沿此直线方向平移一定距离后，结 构中的每一质点都与其相同的质点重合。 螺旋轴的国际符号一般写成ns。n为轴次，s为小于n的 自然数。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
称要素。
空间群
所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特 点，一般采用两种符号并用。例如：
金红石：D4h14——P42/mnm 它的点群是什么？格子类型是什么？在 什么方向 有什么对称要素？
金刚石：Oh7——Fd3m 闪锌矿：Td2——F43m
空间群
空间群与对称型（点群）的区别
1/2
1/4 0
41
3/4 0
43
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
晶体微观对称元素
螺旋轴(screw axis)：
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距应为 3/4T。即螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
凡0<s<n/2者，为右旋螺旋轴（包括31、41、61、62）； 凡n/2<s<n者，为左旋螺旋轴（包括32、43、64、65）； 而s=n/2者，为中性螺旋轴（包括21、42、63）。
有限图形（晶体形态）------无限图形（晶体结构） 点操作（有一个点不动）------ 空间操作 m，Ln，c； ------ m，Ln，ns，a、b、c、d、n；
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
• 晶体结构中的行列均是平移轴 • 平移轴有无限多
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
Rhombohedral
= = 90o = 120o = = 90o
a1 = a2 c
a1 = a2 = a3
a1
P
a2
F
I
Isometric
= = = 90o a1 = a2 = a3
二、空间格子中结点、 行列和面网的指标
X
单位平行六面体的棱长a、b、c 。
②空间格子中点的坐标
x，y，z
用单位平行六面体的 棱长a、b、c作为坐标 轴度量单位时的坐标系 数。
X
Z 0,0,1
c 0,0,1/2 0,0,0 b
a
1/2,1/2,0 1,0,0,
Y 0,1,0,
③行列（晶向）符号(Crystal directions)