2021-2022年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应用习题 理 新人教A版

2021年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应

用习题 理 新人教A 版

一、选择题

1.已知点A (－2，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →

＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

解析 PA →＝(－2－x ，－y )，PB →

＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →

＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6. 答案 D

2.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →

|2，则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形

解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →

|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →

)＝0，

即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →

＝0， ∴AC →⊥BA →

，∴A ＝90°.

又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →

|， 故△ABC 一定是直角三角形. 答案 C

3.(xx·深圳调研)在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →

＝( )

A.2 3

B.2

C.－2 3

D.－2

解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－（23）22×2×2＝－1

2

，

所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →

|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝－2，故选D.

答案 D

4.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( ) A.－π6

B.－π3

C.π3

D.

2π

3

解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0， ∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π

3.

答案 D

5.(xx·杭州质量检测)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若AO →＝13AB →＋13AC →

，则

∠BAC 的度数等于( ) A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →

，∴AD 为BC 的中线且O 为重心.又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C. 答案 C 二、填空题

6.(xx·广州综合测试)在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →

＝2，则边AB 的长等于________.

解析 由题意知AB →·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·AB →＝4，∴|AB →

|＝2. 答案 2

7.(xx·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点

E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →

的最大值为________.

解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则

C (1，1)，M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1，12，设E (x ，0)，x ∈[0，1]，

则EC →·EM →

＝(1－x ，1)·⎝

⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，

x ∈[0，1]时，(1－x )2＋1

2

单调递减，当x ＝0时，EC →

·EM →

取得最大值32

.

答案 32

8.(xx·太原模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.

解析 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝

⎛

⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝

（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝

8－8cos ⎝

⎛

⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |

的最大值与最小值的和为4. 答案 4 三、解答题

9.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；

(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. (1)证明 由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0， 故a ⊥b .

(2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，

所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，

由此得，cos α＝cos(π－β).

由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝1

2.

又α＞β，所以α＝5π6，β＝π

6

.

10.(xx·襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →

|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点.

(1)若x ＝34

π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →

|的最小值；

(2)若x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →

，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值