初高衔接知识第一讲：数与式的运算(含练习+参考答案)

第一讲：数与式的运算

班级：______姓名：__________

问题一、绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 （1）化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

（2）利用绝对值的几何意义求13x x -+-的最小值．

问题二、乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式： （2）立方差公式

（3）三数和平方公式 （4）两数和立方公式

（5）两数差立方公式

例1 （1）计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

（2）已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

问题三、二次根式

0)a ≥

a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩

例 1 化简：（1； （21)x <<．

例2 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

问题四、分解因式

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2；

（2）x 2＋x －(a 2－a )；

（3）321x x -+

参考答案

问题1

例1 当1352x <<

时，原式5213318x x x =-+-=- 当132x ≥

时，原式52138x x x =--+=-

例2

当1x ≤时，原式1324x x x =-+-+=-+，当1x =时，有最小值2

当13x <<时，原式=132x x --+=，恒为2

当3x ≤时，原式1324x x x =-+-=-，当3x =时，有最小值2

综上所述，最小值为2

问题2

例1

原式()()

336111x x x =+-=-

例2

()33223+331x y x x y y x y =+++=

()3331x y xy x y ∴+++=

代入1x y +=得

3331x y xy ++=

问题3

例1

1.

原式2= 2.原式11x x x x =-

=- 例3

1.

=

=

10

10

=

2.

==

> 问题四

例1

1.原式()()12x x =--

2.原式 ()()22

1x a x a x a x a =-++=+-+

3.原式()()()2111x x x x x x ⎛

=-++=-+ ⎝⎭⎝⎭

高一数学衔接知识讲义一练习

班级：________姓名：_________

1．下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

2．计算 （ ）

（A （B （C ） （D ）

3= （ ）

（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

4

=________；

5．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．

6．不等式13x ->的解为_________________；||x x >的解为___________________；

7．利用绝对值的几何意义写出|1||3|x x ---的最大值为___________；最小值为______________；

8．化简：20042005⋅=_______________________；

9．因式分解3

24x x --=___________________________；

10．若1,1x y xy +==-，则33x y -=__________________． 11．若22

20x xy y +-=，求22

223x xy y x y +++的值

12．解方程22112()3()10x x x x

+-+-=．

参考答案

1-3 D C D

4-10 1；>；4x >或2x <-，0x <；2，-22(2)(22)x x x -++；± 11 解：222(2)(-)0x xy y x y x y ++=+=；

x y =或2x y =-；

当x y =时，原式=22223522

x x x x ++=； 当2x y =-时，原式=2222246145

y y y y y -+=-+； 综上所述：15-或52

12 解：22211()2x x x x

+=+-； 令1t x x =+；

则22350t t -+=； (25)(1)0t t -+=；

152

t =

，21t =-； 当152

x x +=时； 25102

x x -+=； 259()416

x -=； 12x =，212

x =； 当11x x +=-时； 210x x ++=，30∆=-<，无解；

综上所述：12x =，212x =