整体代入法巧解数学难题-非常实用(可直接使用)

v1.0 可编辑可修改

1- -第 1 页 共 3 页

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

一．数与式中的整体思想

【例1】 已知代数式3x 2

－4x+6的值为9，则2

463x x -+的值为 ( )

A ．18

B ．12

C ．9

D ．7

相应练习：

1. 若代数式2

425x x -+的值为7，那么代数式2

21x x -+的值等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．4

2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=

3.先化简，再求值222

142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷

⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．

【例2】.已知

4a b -=，则

227a b ab

-+的值等于（ ） A.6 B.6- C.

125 D.2

7

-

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11

a b

-的形式，再整体代入求解．

【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式

222a b c ab bc ac ++---的值．

【例4】逐步降次代入求值：已知m 2

-m -1=0，求代数式m 3

-2m +2005的值．

应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32

259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2

310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知241

22x y k x y k +=+⎧⎨

+=+⎩

，且03x y <+<，则k 的取值范围是

【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511

x ay x by -=⎧⎨

+=⎩的解为5

6x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，

y 的二元一次方程组

v1.0 可编辑可修改

2- -第 2 页 共 3 页

()11x y b x y ⎧⎨

++-=⎩

的解为为

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

【例6】．解方程 2

25

23423x x x x

+-=

+

总结：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设

2234y x x =+-，将方程变形为5

4

y y =

+来解． 对于形如2()5011x x x x +-=--这样的方程只要设1

x

y x =-，从而将方程变形为

一元二次方程

来求解，原方程的解为 。

课堂练习：

1．当代数式a -b 的值为3时，代数式2a -2b+1的值是 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

2．用换元法解方程(x 2

+x) 2

+2(x 2

+x)－1=0，若设y=x 2

+x ，则原方程可变形为 ( ) A ．y 2

+2y+1=0 B ．y 2

－2y+1=0 C ．y 2

+2y －1=0 D ．y 2

－2y －1=0

3．当x=1时，代数式a x 3

+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3

+bx+7的值为( )

A ．7

B ．10

C ．11

D ．12 4．若方程组31,

33

x y k x y +=+⎧⎨

+=⎩的解x ，y 满足0

A ．－4

B ．－1

C ．0

D ．k>－4 5．(08芜湖)已知

113x y -=，则代数式21422x xy y

x xy y

----的值为_________． 6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则1

x x

-

=_____． 7．如果(a 2

+b 2) 2

－2(a 2

+b 2

)－3=0，那么a 2

+b 2

=___．

8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．

9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2

10．(07泰州)先化简，再求值： 222

4124422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝

⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．

11.(08苏州)解方程：()2

2

211

60x x x x +++-=．

12、已知a 是方程2

200910x x -+=一个根，求22

2009

20081

a a a -+

+的值.