中科大算法设计与分析分布式算法部分作业部分答案
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算法设计与分析 第二次作业
1. 分析在同步和异步模型下汇集算法的复杂性。 分析在同步和异步模型下பைடு நூலகம்集算法的复杂性。
解：与广播算法分析时间复杂性的步骤一致，一两句的说明 与广播算法分析时间复杂性的步骤一致， 不是分析。 不是分析。 <1> 同步模型 引理：在汇集算法的每个容许执行里， 引理：在汇集算法的每个容许执行里，树中每个高为 t 轮里收到所有孩子的msg。 子树根结点在第 t 轮里收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 同步汇集算法。 同步汇集算法。 <2> 异步模型 引理：在汇集算法的每个容许的执行里， 引理：在汇集算法的每个容许的执行里，树中每个高为 t 收到所有孩子的msg。 的子树根结点在时刻 t 收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 异步汇集算法。 异步汇集算法。
6.
证明同步环上不存在匿名的、 证明同步环上不存在匿名的、一致性的 Leader选举算法 Leader选举算法。 选举算法。
解：由Lemma3.1可得。 解：由Lemma3.1可得。 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A是其上的一 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 同步的且只有一种初始配置，故在R 同步的且只有一种初始配置，故在R上A只有唯一的 合法执行。 Lemma3.1： 在环R上算法A Lemma3.1： 在环R上算法A的容许执行里，对于每 轮k，所有处理器的状态在第k轮结束时是相同的。 ，所有处理器的状态在第k Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！ Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！
3. 证明Alg2.3构造一颗以Pr为根的DFS树。 证明Alg2.3构造一颗以 为根的 构造一颗以Pr为根的DFS树
解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 可以证明：在有子结点与兄弟结点未访问时，子结点总是先 加入树中。根据alg2.3 xxx步证明这一点。 加入树中。根据alg2.3 的xxx步证明这一点。
5. 修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。 修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。 解：两种考虑方式： <1> 在每个处理器中维护一本地变量，同时添加一 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N通知 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M时 便不会向Pi转发。 便不会向Pi转发。 <2> 在消息M和<parent>中维护一发送数组，记录 在消息M <parent>中维护一发送数组，记录 已经转发过M 已经转发过M的处理器名称。 两种方式都是避免向已转发过M 两种方式都是避免向已转发过M的处理器发送消息 M，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 ，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 为O(n)。 O(n)。
祝大家考试顺利
谢谢！
4. 证明Alg2.3时间复杂度为O(m)。 证明Alg2.3时间复杂度为 时间复杂度为O(m)。
解： <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息( <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息(M or Parent or Reject)在传输，从算法的第6、14、16、20、 Reject)在传输，从算法的第6 14、16、20、 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 结点，除根结点外，所有的处理器都是收到消息后才被激 活，所以，不存在多个处理器在同一轮发送消息的情况， 所以时间复杂度与消息复杂度一致。 <2> 异步模型：在一个时刻内至多有一个消息在传输，因 此，时间复杂度也与消息复杂度一致。消息复杂度：对任 一边，可能传输的消息最多有4个，即2 一边，可能传输的消息最多有4个，即2个M，2个相应M 个相应M 的消息（Parent Reject），所以消息复杂度为O(m)。 的消息（Parent or Reject），所以消息复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。
Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 内将询问包发送到网络上的其它节点，但却可能需 要O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。 O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。
附2：算法3.2（同步Leader选举算法） ：算法3.2（同步Leader选举算法） 为何非唤醒msg要延迟2^i 为何非唤醒msg要延迟2^i -1轮？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 解： <1> 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 <2> 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， N为自发唤醒的节点数。 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 为O（n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ Note：思考方案2 Note：思考方案2中消息复杂度和时间复杂度的关 系！！！
例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 试和检测中，是路由也是网络中最常用的数 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 节点有哪些些路径，并且通过往返时间能得 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 息同步进行，则对应1 time时间复杂性，为 息同步进行，则对应1-time时间复杂性，为 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。
2. 证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr 证明在引理2.6中 一个处理器在图G中是从Pr 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值 变量曾被赋过值。 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值。
解： 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 以pr为根的生成树。 pr为根的生成树。 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 每个容许执行中），不是空口讨论。方法不一，原则是有理 有据，逻辑清楚。 <1> => pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m，执行 了alg2.2第5行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 alg2.2第 行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 会执行。也就是被赋值。 <2> <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5行也执行过， <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。
8.
若将环Rrev划分为长度为 若将环Rrev划分为长度为j（j为2的幂）的连 划分为长度为j 的幂） 续片段，则所有这些片段是次序等价的。 续片段，则所有这些片段是次序等价的。
解：。。。。
附1：“表面上，1-time复杂性至少等于时间复杂性， ：“表面上，1 time复杂性至少等于时间复杂性， 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 1-time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？ 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？
7. 证明异步环系统中不存在匿名的Leader选举 证明异步环系统中不存在匿名的Leader选举 算法。 算法。 解： 每个处理器的初始状态相同，状态机相同，接收的消 息序列也相同（只有接收消息的时间可能不同），故 最终处理器的状态一致。由于处理一条消息的至多需 要1时间单位，若某时刻某个处理器宣布自己是Leader 时间单位，若某时刻某个处理器宣布自己是Leader （接收到m条消息），则在有限时间内（m （接收到m条消息），则在有限时间内（m时间单位） 其他处理器也会宣布自己是Leader。 其他处理器也会宣布自己是Leader。 所以。。。 Note：每个处理器陆续宣布自己是Leader！ Note：每个处理器陆续宣布自己是Leader！
解：考虑运行在环上的分布式算法的1 time时间复杂性和时 解：考虑运行在环上的分布式算法的1-time时间复杂性和时 间复杂性。 <1> 1-time时间复杂性： 1-time时间复杂性： 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1-time 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 <2> 时间复杂度： 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 发轨迹可能呈链状结构，时间复杂性与环节点个数相关，为 O(n)。 O(n)。
1. 分析在同步和异步模型下汇集算法的复杂性。 分析在同步和异步模型下பைடு நூலகம்集算法的复杂性。
解：与广播算法分析时间复杂性的步骤一致，一两句的说明 与广播算法分析时间复杂性的步骤一致， 不是分析。 不是分析。 <1> 同步模型 引理：在汇集算法的每个容许执行里， 引理：在汇集算法的每个容许执行里，树中每个高为 t 轮里收到所有孩子的msg。 子树根结点在第 t 轮里收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 同步汇集算法。 同步汇集算法。 <2> 异步模型 引理：在汇集算法的每个容许的执行里， 引理：在汇集算法的每个容许的执行里，树中每个高为 t 收到所有孩子的msg。 的子树根结点在时刻 t 收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 异步汇集算法。 异步汇集算法。
6.
证明同步环上不存在匿名的、 证明同步环上不存在匿名的、一致性的 Leader选举算法 Leader选举算法。 选举算法。
解：由Lemma3.1可得。 解：由Lemma3.1可得。 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A是其上的一 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 同步的且只有一种初始配置，故在R 同步的且只有一种初始配置，故在R上A只有唯一的 合法执行。 Lemma3.1： 在环R上算法A Lemma3.1： 在环R上算法A的容许执行里，对于每 轮k，所有处理器的状态在第k轮结束时是相同的。 ，所有处理器的状态在第k Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！ Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！
3. 证明Alg2.3构造一颗以Pr为根的DFS树。 证明Alg2.3构造一颗以 为根的 构造一颗以Pr为根的DFS树
解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 可以证明：在有子结点与兄弟结点未访问时，子结点总是先 加入树中。根据alg2.3 xxx步证明这一点。 加入树中。根据alg2.3 的xxx步证明这一点。
5. 修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。 修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。 解：两种考虑方式： <1> 在每个处理器中维护一本地变量，同时添加一 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N通知 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M时 便不会向Pi转发。 便不会向Pi转发。 <2> 在消息M和<parent>中维护一发送数组，记录 在消息M <parent>中维护一发送数组，记录 已经转发过M 已经转发过M的处理器名称。 两种方式都是避免向已转发过M 两种方式都是避免向已转发过M的处理器发送消息 M，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 ，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 为O(n)。 O(n)。
祝大家考试顺利
谢谢！
4. 证明Alg2.3时间复杂度为O(m)。 证明Alg2.3时间复杂度为 时间复杂度为O(m)。
解： <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息( <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息(M or Parent or Reject)在传输，从算法的第6、14、16、20、 Reject)在传输，从算法的第6 14、16、20、 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 结点，除根结点外，所有的处理器都是收到消息后才被激 活，所以，不存在多个处理器在同一轮发送消息的情况， 所以时间复杂度与消息复杂度一致。 <2> 异步模型：在一个时刻内至多有一个消息在传输，因 此，时间复杂度也与消息复杂度一致。消息复杂度：对任 一边，可能传输的消息最多有4个，即2 一边，可能传输的消息最多有4个，即2个M，2个相应M 个相应M 的消息（Parent Reject），所以消息复杂度为O(m)。 的消息（Parent or Reject），所以消息复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。
Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 内将询问包发送到网络上的其它节点，但却可能需 要O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。 O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。
附2：算法3.2（同步Leader选举算法） ：算法3.2（同步Leader选举算法） 为何非唤醒msg要延迟2^i 为何非唤醒msg要延迟2^i -1轮？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 解： <1> 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 <2> 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， N为自发唤醒的节点数。 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 为O（n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ Note：思考方案2 Note：思考方案2中消息复杂度和时间复杂度的关 系！！！
例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 试和检测中，是路由也是网络中最常用的数 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 节点有哪些些路径，并且通过往返时间能得 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 息同步进行，则对应1 time时间复杂性，为 息同步进行，则对应1-time时间复杂性，为 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。
2. 证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr 证明在引理2.6中 一个处理器在图G中是从Pr 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值 变量曾被赋过值。 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值。
解： 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 以pr为根的生成树。 pr为根的生成树。 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 每个容许执行中），不是空口讨论。方法不一，原则是有理 有据，逻辑清楚。 <1> => pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m，执行 了alg2.2第5行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 alg2.2第 行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 会执行。也就是被赋值。 <2> <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5行也执行过， <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。
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若将环Rrev划分为长度为 若将环Rrev划分为长度为j（j为2的幂）的连 划分为长度为j 的幂） 续片段，则所有这些片段是次序等价的。 续片段，则所有这些片段是次序等价的。
解：。。。。
附1：“表面上，1-time复杂性至少等于时间复杂性， ：“表面上，1 time复杂性至少等于时间复杂性， 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 1-time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？ 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？
7. 证明异步环系统中不存在匿名的Leader选举 证明异步环系统中不存在匿名的Leader选举 算法。 算法。 解： 每个处理器的初始状态相同，状态机相同，接收的消 息序列也相同（只有接收消息的时间可能不同），故 最终处理器的状态一致。由于处理一条消息的至多需 要1时间单位，若某时刻某个处理器宣布自己是Leader 时间单位，若某时刻某个处理器宣布自己是Leader （接收到m条消息），则在有限时间内（m （接收到m条消息），则在有限时间内（m时间单位） 其他处理器也会宣布自己是Leader。 其他处理器也会宣布自己是Leader。 所以。。。 Note：每个处理器陆续宣布自己是Leader！ Note：每个处理器陆续宣布自己是Leader！
解：考虑运行在环上的分布式算法的1 time时间复杂性和时 解：考虑运行在环上的分布式算法的1-time时间复杂性和时 间复杂性。 <1> 1-time时间复杂性： 1-time时间复杂性： 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1-time 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 <2> 时间复杂度： 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 发轨迹可能呈链状结构，时间复杂性与环节点个数相关，为 O(n)。 O(n)。