《直线与平面、平面与平面平行的判定》导学案

第4课时直线与平面、平面与平面平行的判

定

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.

2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.

若一个平面内的所有直线与另一个平面平行,这两个平面显然无公共点,所以它们是相互平行的,用这种方法来判断两个平面平行显然非常繁琐,那么能不能用一个平面内最少的直线与另一个平面平行来判断这两个平面平行呢?若一个平面内有一条直线与另一个平面平行,这两个平面是否平行?若有两条呢?

问题1:判断平面外的一条直线与平面平行只需在平面找出一条直线与该直线平行即可;判断两个平面平行,只需在一个平面找出与另一个平面平行即可,它们分别是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

符号语言:若,则a∥α.

若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

符号语言:若,则α∥β.

问题2:证明直线和平面平行的方法归纳:

(1)定义法:根据条件判断已知直线与平面,但要说明直线与平面往往比较困难,所以一般不采用定义法.

(2)判定定理:在已知平面内找出一条直线,而这条直线与已知直线,从而符合判定定理的条件,进而可判定已知直线和已知平面平行.找“线线平行”常用以下方法:

①空间直线平行关系的传递性法;

②三角形中位线法;

③平行四边形法;

④成比例线段法.

问题3:证明平面和平面平行的方法归纳:

证明两个平面平行除了可以用两个平面平行的判定定理外,还可以用以下两种方法:

(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面;

(2)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,即平面平行具有.

这两个结论都可以用两个平面平行的判定定理推导得出,可以看作该定理的推理.

问题4:证明直线和平面平行、平面和平面平行的基本思路.

(1)证明直线和平面平行的基本思路:直线和平面平行的判定可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若平行,则平行”.由此可以看出,要证明平面外的一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出和已知直线平行,就可以判定已知直线和这个平面平行.

(2)欲证两个平面平行,只需证明一个平面内的两条直线同另一个平面平行,而证明线面平行则需要证明线线平行,由此可见,证明面面平行的基本思路为、、.

1.下列条件中,能得出直线a与平面α平行的条件是().

A.a⊄α,b⊂α,a∥b

B.b⊂α,a∥b

C.b⊂α,c∥a,a∥b,c∥α

D.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD

2.下列说法正确的是().

A.若平面α内的无数条直线分别与平面β平行,则α∥β

B.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行

C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面

D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行

3.已知直线l1,l2,平面α,且l1∥l2,l1∥α,则l2与α的位置关系是.

4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1C1,B1C1的中点.

求证:EF∥平面ABC1.

直线与平面平行的判定

正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证: EF∥平面ABCD.

平面与平面平行的判定

如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:平面A1EB∥平面C1AD.

线面平行,面面平行的开放性问题

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、N分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD、BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足什么条件时,有MN∥平面B1BDD1(填上一个正确的条件即可)?

在四棱锥P—ABCD中,E、F分别是PD、AB的中点.那么EF与平面PBC的位置关系如何?请说明理由.

如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,分别过三个顶点作平面AB1D1、平面C1DB,求证:平面AB1D1∥平面C1DB.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、P分别是CC1、C1D1的中点,作出过MP且与截面A1BD 平行的截面.

1.在围成正方体ABCD-A1B1C1D1的面中,与平面AC平行的平面是().

A.平面A1C1B平面AD1 C.平面AB1 D.平面BC1

2.已知a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题:

①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;

④⇒α∥β;⑤⇒α∥a;⑥⇒α∥a.

其中正确的命题是().

A.①②③

B.①④⑤

C.①④

D.①③④

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是PC上的动点,当PE= PC时,PA∥平面BDE.

4.如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点.求证:平面A1EFD1∥平面BCHG.

(2013年·新课标全国Ⅱ卷改编)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥平面A1CD.

考题变式(我来改编):

答案

第4课时直线与平面、平面与平面

平行的判定

知识体系梳理

问题1:两条相交直线a⊄α,b⊂α,a∥b a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β

问题2:(1)没有公共点无公共点(2)平行

问题3:(1)平行(2)传递性

问题4:(1)线线线面一条直线(2)相交线线平行线面平行面面平行

基础学习交流

1.A选项B、C、D都缺条件a⊄α.

2.D选项A、B中两平面还可能相交.选项C中,当直线与平面相交时,不能作出与该平面平行的平面.

3.l2∥α或l2⊂α因为l1平行于平面α,所以在α内存在直线b与l1平行.因为l2∥l1,所以l2∥b,所以l2∥α或l2⊂α.

4.解:因为E,F分别是A1C1,B1C1的中点,

所以EF∥A1B1,

又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,

所以EF∥AB,

又EF⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,

所以EF∥平面ABC1.

重点难点探究

探究一: