算法分析与设计——无向图的应用(C++版)

cn ww VertexType adjvex;
. w VRType
lowcost;
w} closedge[MAX_VERTEX_NUM];
wwint i,j,k;
t k = LocateVex ( G, u );
ne for ( j=0; j<G.vexnum; ++j )
k. {
// 辅助数组初始化Biblioteka Baidu
k b }
oo cn }
nb w. } // PRIM c w 对图 1 所示的图，应用 Prim 算法，将边加入集合 T 的过程如图 2 所示。
. ww.cnbook.net w www.cnbook.net 图 2 Prim算法的运行流程 w 为了便于在集合 U 和 V=U 之间选择最小的边，建立两个数组 CLOSET 和 LOWCODT， net ok CLOSEST[i]表示 U 中的一个顶点，该顶点和 V-U 中的一个顶点构成的边（i, CLOSEST[i]具有最小 k. bo 的权；LOWCOST[i]表示边 CLOSEST[i]）的权，i=2, …, n。 o n 算法的每一步扫描数组 LOWCOST，在 V-U 中找出离 U 最近的顶点，令其为 k，并打印边（K， bo .c CLOSEST[K]）。然后修改数组 LOWCOST 和 CLOSEST，标记 k 已经加入 U。用 C 表示图的邻接矩 cn ww 阵，C[i, j]和 C[j, i]是边(i, j)的权，如果不存在边(i, j)，则 C[i, j]的值为一个大于任何权而小于无限大 . w 的常数。 w 在执行 Prim 算法时，第 2 个 for 循环执行 n-1 次。第 3 和第 4 行的 for 循环，其执行时间都是 ww O(n)。所以，Prim 算法总的执行时间是 O(n2)。当 n 很大时，Prim 算法消耗很大。所以，本算法一 t 般用于的顶点不太多的情况。另外，由于 Prim 算法与图中边数无关，该算法适合于稠密图。 ne 构造最小耗费生成树的另一种常用的方法是 Kruskal 算法，当图中的边数为 e 时，Kruskal 算法 k. 所需的时间为 O(eloge)。当 e 与 n2 差不多大小的时候，Prim 算法比 Kruskal 算法好，但当 e 远远小 oo c 于 n2 时 Kruskal 算法却比 Prim 算法好的多，换句话说，Kruskal 算法的时间主要取决于边数，它较 nb w. 适合于稀疏图。 .c ww 1.3 Kruskal 算法 ww Kruskal 算法所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加 w t 入已选择的边的集合中。它的基本思想是：设有一个有 n 个顶点的连通网络 G=(V, E)，其中 V={1, ook.ne ※ 3 ※
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net 内容提要：本文主要介绍了无向图的应用示例。主要讨论关于无向图的最小生成树、无向图的 et k. 遍历问题、图与图匹配和迷宫问题。首先介绍了关于最小生成树的基本定义和性质，以及两种构造 .n oo 最小生成树的算法（Prim 算法和 Kruskal 算法）。然后，和有向图相似的介绍了两种无向图的遍历方 k b 法（深度优先遍历和广度优先遍历）。接着介绍了迷宫问题的求解方法。最后，介绍了求解最短路径 o cn 的六种方法，包括宽度优先搜索、动态规划、A﹡算法、等代价搜索法、Warshall 算法和标号法。
book .cnb 这里：
W (T ) = ∑ w(u,v) ( u , v )∈TE
cn ww TE 表示 T 的边集。 . w w(u, v)表示边(u, v)的权。 ww 权最小的生成树称为 G 的最小生成树。最小生成树可简记为 MST。 w 从一个带权的连通图（即网络），如何找出一棵生成树，使得各边上的权值总和达到最小，这是
w. w 1.1 最小生成树性质
ww 最小生成树具有如下性质：设 G=(V, E)是一个连通图，在 E 上定义一个函数，令 U 是顶点集 V ook.net ※ 1 ※
.cnbook 的一个真子集。若(u, v)是 G 中所有的一个端点在 U(u∈U)里、另一个端点不在 U（即 v∈V-U）里 ww 的边中，具有最小权值的一条边，则一定存在 G 的一棵最小生成树包括此边(u, v)。根据这一性质 w t （MST 性质），可以构造最小生成树。
.cnbook 2, …, n}，C 是关于 E 中每条边的权函数。最初先构造一个只有 n 个顶点，没有边的非连通图 T=(V, ww O)，图中每个顶点自成一个连通分量，即图 T 由 G 中的 N 个顶点构成，没有任何一个边。然后， w t 按照边的权递增的顺序，依次考查 E 中的每条边。当在 E 中选到一条具有最小权值的边时，若该边 e 的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最 t .n 小的边。如此重复下去，当 T 中的连通分量的个数为 1 的时候，说明 V 中的全部顶点通过 E 中权最 ne ok 小的那些边，构成了一个没有环路的连通图 T，即图 G 的最小生成树。 . o Kruskal 算法描述如下： ok nb KruskalMST(G)
t .n 构造最小生成树典型的方法有两种：克普里姆（Prim）算法和鲁斯卡尔（Kruskal）算法，它们 e k 都采用了一种逐步求解的策略。
k.n boo 1.2 Prim 算法
oo cn 根据最小生成树的性质，由加权图G=(V, E)构造最小生成树的一种算法，即Prim算法。Prim算 nb w. 法的执行非常类似于寻找图的最短通路的Dijkstra算法。Prim算法的特点是集合A中的边总是只形成 .c ww 单棵树。
w. 关键字：无向图、最小生成树、Prim 算法、Kruskal 算法、迷宫问题、最短路径 ww 引言：无向图 G=(V, E)由顶点的集合 V 与边的集合 E 组成。无向图和有向图的区别在于，构成 t 无向图任意一条边的两个顶点是无序的，就是说，如果(V, W)是一条无向边，(V, W)=(W, V)，以后 ne 把无向图简称图。许多学科都用图描述对象之间的关系，建立数据模型，图的每个顶点表示一个对 t . 象，每条边表示两个对象之间的关系。 ne ok 正文：
.c { //求连通网 G 的一棵 MST ww T=(V,E); //初始化，T 是只含 n 个顶点不包含边的森林 w //依权值的递增序对 E(G)中的边排序，并设结果在 E[0..e-1]中 et for(i=0;i<e;i++) t .n { //e 为图中边总数 e k 取 E[0,e-1)中的第 i 条边(u,v); .n oo if u 和 v 分别属于 T 中两棵不同的树 then
k. 如果网络 G 表示 n 个城市之间的通信线路网线路，其中顶点表示城市，边表示两个城市之间的
oo c 通信线路，边上的权值表示线路的长度或造价，就可以建立一个通信网络。对于这样一个有 n 个顶
nb w. 点的网络，可以有不同的生成树，每一棵生成树都可以构成通信网络。希望能够根据各条边上的权
c w 值，选择一棵总造价最小的生成树，这就是构造网络的最小（代价）生成树的问题。
ww Prim 具体算法如下所示：
w void PRIM(MGraph G, VertexType u)
net ok { . o // 用普里姆算法从第 u 个顶点出发构造网 G 的最小生成树 T，输出 T 的各条边 ok nb // 记录从顶点集 U 到 V－U 的代价最小的边的辅助数组定义
bo .c struct {
net ok 一个有实际意义的问题。
. o 【例 1】在 n 个城市之间建立通信网络，至少要架设 n-1 条线路。这时自然会考虑：如何做才 ok nb 能使得总造价最少？
bo .c 图 1（a）是一个带权图 G，（b）是该图的最小生成树。
www.cn t www （a）
（b）
ne 图 1 图和它的生成树
t Prim 算法的基本思想如下：假设 G=(V, E)是连通网，生成的最小生成树为 T=(V, TE)，求 T 的 ne 步骤如下：
et k. （1）初始化：U={u0}，TE={φ}。 n o （2）在所有 u∈U，v∈V-U 的边(u, v)∈E 中，找一条权最小的边(u0, v0)，TE+{(u0, v0)}→TE， k. bo {v0}+U→U。 oo cn （3）如果 U=V，则算法结束；否则重复（2）。 b . 最后得到最小生成树 T=<V, TE>，其中 TE 为最小生成树的边集。 cn ww 连通网用邻接矩 net 表示。若两个顶点之间不存在边，其权值为计算机内允许最大值；否则为 . w 对应边上的权值。
ww for (i=1; i<G.vexnum; ++i)
w t { // 选择其余 G.vexnum-1 个顶点
e k = minimum(closedge);
// 求出 T 的下一个结点：第 k 顶点
t .n 此时 closedge[k].lowcost =
ne ok MIN{ closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi∈V-U }
et 的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。
t .n 设 G=(V, E)是一个带权连通图，E 中第 n 条边(U, V)。图 G 的一株生成树连接 V 中所有顶点的
ne ok 一株开放树。对于连通的带权图（连通网）G，其生成树也是带权的。生成树 T 各边的权值总和称
. o 为该树的权，记作：
oo c if (j!=k)
nb w. {
.c ww closedge[j].adjvex=u;
closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
ww }
w t }
ook.ne ※ 2 ※
.cnbook closedge[k].lowcost = 0;
// 初始，U＝{u}
ww { et // 新顶点并入 U 后重新选择最小边
n closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj;}
et k. closedge[j].adjvex=G.vexs[k];
.n oo closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
. o printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树的边
ok nb closedge[k].lowcost = 0;
// 第 k 顶点并入 U 集
.c for (j=0; j<G.vexnum; ++j)
w if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)
e 现 在 证 明 最 小 生 成 树 满 足 上 述 性 质 。 为 方 便 说 明 ， 先 作 约 定 ： 权 最 小 的 边 称 为 轻 边 （ 即 权 重 最 t .n “轻”的边）。于是，MST 性质中所述的边(u, v)就可简称为轻边。 ne ok 用反证法证明 MST 性质：假设 G 中任何一棵 MST 都不含轻边(u, v)。则若 T 是 G 的一棵 MST， . o 则它不含此轻边。由于 T 是包含了 G 中所有顶点的连通图，所以 T 中必有一条从集合 U 中的顶点 u ok nb 到集合 V-U 中的顶点 v 的路径 P，且 P 上必有一条边(u', v')连接 U 集和 V-U 集，否则 u 和 v 不连通。 .c 当把轻边(u, v)加入树 T 时，该轻边和 P 必构成了一个回路。删去边（u', v'）后回路亦消除，由此可 ww 得另一生成树 T'。T'和 T 的差别仅在于 T'用轻边(u, v)取代了 T 中权重可能更大的边(u', v')。因为 w(u, w v)≤w(u', v')，所以 w(T')=w(T)+w(u, v)-w(u', v')≤w(T)，故 T'亦是 G 的 MST，它包含边(u, v)，这与 et 假设矛盾。所以，MST 性质成立。
ok. nbo 1 最小生成树
bo .c 一个连通图的生成树是原图的极小连通子图，它包含原图中的所有顶点，且以尽可能少的边保
cn ww 持各顶点的连通。这意味着对于生成树来说，若去除它的一条边，就会使生成树变成非连通图；若
. w 给它增加一条边，就会形成图中的一个回路。另一方面，使用不同的遍历图的方法，可以得到不同