二次函数图像的平移

做一做 1、画出函数y=2x2 的图象
X ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 Y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
-4
y
9
y=2x2
8 7 6 5 4 3 2 1
函数 y=2x2的 图象是什 么形状? 么形状 它的开口 方向对称 轴和顶点 坐标分别 是什么? 是什么
x o
1 2 3 4
顶点是(1,2). 顶点是
先猜一猜, 做一做, 先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 y=3(x作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样? www.1230.org 初中数学资源网 会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2-2的 二次函数y=3(xy=3(x 图象与抛物线y=3x 图象与抛物线y=3x2和 y=3(x- 有何关系? y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么? 坐标分别是什么?
在对称轴的左侧,y随着 的增大而增大 在对称轴的左侧 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而减小. 随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着 的增大而减小
最小值为0. 当x=0时,最小值为 时 最小值为
最大值为0. 当x=0时,最大值为 时 最大值为
www.1230.org a 越大 开口越小 初中数学资源网 越小 开口越大 a 越小,开口越大 越大,开口越小 开口越小. 开口越大.
顶点坐标 对称轴 y随x变化规律 随 变化规律
y=-3x y=-3x²
（0，0） 直线x=1 ， ） 直线
以直线x=0为界线 以直线 为界线
y=-3(x-1)2 y=-3(x-
抛物线
向下
（1，0） 直线 ， ） 直线x=1
以直线x=1为界线 以直线 为界线
y=-3(x+ y=-3(x+1)2
抛物线
向下
列表看一看
x
y = 3x2
y = 3(x −1) y = 3(x +1)
2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12 0
0 0 3 3
1 3 0 12
2 12 3 27
3 27 12
4
27
2
27
12
3
y=3(x-1)²的值比 的值比y=3x²的值落后， 的值落后， 的值比 的值落后 y=3(x+1)²的值比 的值比y=3x²的值提前。 的值提前。 的值比 的值提前
y=3x2-1
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二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？ 二次函数y=ax +c的图象有什么关系？ 的图象有什么关系
二次函数y= +c的图象可以由 二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 平移c个单位得到. 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 向下平移-c个单位得到. 当c < 0 时 平移- 个单位得到.
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函数y= (x- 的图象与y= y=3 y=3 (2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什 么共同点？ 么共同点 ？ 其对称轴和顶点坐标分别是什么 ?
y = 3(x −1)
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线 轴的直线:x=1. 轴的直线
在对称轴的左侧,y随着 的增大而减小 在对称轴的左侧 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小. 在对称轴的右侧, 随着 的增大而增大. 随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着 的增大而增大
y = ax
2
y= ax2 (a<0) （0，0） ， ） y轴 轴 轴的下方( 在x轴的下方 除顶点外 轴的下方 除顶点外) 向下
函数y=2x 函数y=2x2+1 的图象是什 么形状? 么形状 它的 开口方向,对 开口方向 对 称轴和顶点 坐标分别是 什么? 什么
o
x 1 2 3 4
wk.baidu.com
-3
-2
-1
y
y=2x2+1与 与 y=2x2的图 象有什么关 系?
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2+1 y=2x2
-3.
-2
-1
0. -1
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-3
-2 -1
2、画出函数 y=2x2+1的图象
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2+1
y
9
y=2x2
y=2x2+1
9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9
-4
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8 7 6 5 4 3 2 1
函数y= (xy=3 ( 1 ) 函数 y= 3 (x - 1 ) 2 的 图象与y= y=3 图象与y=3x2的图象有 什么关系? 什么关系? 把y=3x²的图像沿轴向右 的图像沿轴向右 平移1个单位就得到 平移 个单位就得到 y=3(x-1)²的图像 的图像
y = 3x
2
(x − 1)2 y=3
2
y = 3x2
顶点坐标 是点(1,0). 是点 www.1230.org 初中数学资源网
猜一猜,在同一坐标系中作 在同一坐标系中作 二次函数y=3(x+1)2的图象 的图象, 二次函数 的图象 会在什么位置? 会在什么位置
y = 3x2
y = 3( x − 1)
2
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x -3 27
2
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4
y = 3x2
y = 3(x −1)
27
比较y=3x²和y=3(x-1)²的值 它们之间有什么关系 和 的值,它们之间有什么关系 比较 的值 它们之间有什么关系? y=3(x-1)²的值比 www.1230.org 初中数学资源网 的值比y=3x²的值落后 的值比 的值落后
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二次函数y=ax2的性质 二次函数
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： y=ax2 (a>0) 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 开口大小 （0，0） ， ） y轴 轴 轴的上方(除顶点外 在x轴的上方 除顶点外 轴的上方 除顶点外) 向上
在下列平面直角坐标系中，做出 （ 在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）² ） 的图像
x
y=3x² y=3(x-1)²
-2 12
-1
0
1 3 0
y = 3x2
2 12 3
3 12
y = 3( x − 1)
2
3 0 12 3
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2、观察图象,回答问题 观察图象,
这两函数的图像有什么关系？ 这两函数的图像有什么关系？ 二次函数y=3x2-1图像可以由 图像可以由y=3x2 的 二次函数 图像可以由 图象向下平移一个 一个单位得到 图象向下平移一个单位得到
y=3x2
0.25.
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
向上
在对称轴的左侧,y随着 随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着 随着x的增大 在对称轴的左侧 随着 的增大 在对称轴的左侧 随着 的增大 y随x 随 而减小. 在对称轴的右侧, 随 而增大. 在对称轴的右侧, 随 而减小 在对称轴的右侧 y随 而增大 在对称轴的右侧 y随 变化规律 的增大而增大. 着x的增大而增大 的增大而增大 着x的增大而减小. 的增大而减小
（-1，0） 直线 ， ） 直线x=-1
以直线x=-1为界线 为界线 以直线
理由是：它们分别和 它们分别和y=3x²,y=3(x-1)², 它们分别和 y=3(x+1)²互为相反数 互为相反数
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二次函数y=a(x-h)2的性质 二次函数
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） ， ） 直线x=h 直线 y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） ， ） 直线x=h 直线 向下
y = 3( x + 1)
y = 3x2
2
(x −1)2 y =3
顶点坐 标
对称轴
y随x变化规律 随 变化规律
y=3x² y=3x
以直线x=0为界 （0，0）直线 ， ）直线x=1 以直线 为界 线 以直线x=1为界 （1，0）直线 ， ）直线x=1 以直线 为界 线 以直线x=-1为界 为界 以直线 线
y = 3x2
y = 3(x −1) + 2
2
y = 3( x − 1)
2
二次函数y=3(x二次函数 1)2+2的图象可以看作 的图象可以看作 X=1 2先沿着 是抛物线y=3x 是抛物线 对称轴仍是平行于y轴的直 对称轴仍是平行于 轴的直 开口向上,当 开口向上 当 2类似 x轴向右平移 个单位 线(x=1);增减性与 轴向右平移1个单位 轴向右平移 个单位, 增减性与y=3x 类似. 增减性与 X=1时有最小 时有最小 再沿直线x=1上平移 上平移2 再沿直线 上平移 且最小值=2. 值:且最小值 且最小值 个单位后得到的
1.
2.
3.
x
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想一想
你知道 函数 y=3x2-1的大 的大 致图象和位 置吗? 置吗
-1 -0.75.
y 1.
y=3x2
0.75. 0.5. 0.25.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
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y = 3x2
y = 3(x −1)
2
2
-4
-3 27
-2 12 27 29
-1 3 12 14
0 0 3 5
1 3 0 2
2 12 3 5
3 27 12 14
4
27 29
y = 3(x −1) + 2
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二次函数y=3(x y=3(x二次函数y=3(x-1)2+2的 的 图象和抛物线 y=3(x图象和抛物线y=3x²,y=3(x和抛物线 y=3(x 有什么关系?它的开口 1)2有什么关系 它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 方向 对称轴和顶点坐标分 别是什么? 别是什么
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做一做
在同一坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x在同一坐标系中作出函数 y=3(x y=3(x的图象,它们之间有何关系 y=3(x-1)2+2的图象 它们之间有何关系 ？ 的图象 它们之间有何关系.？
+2值 1、完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之 完成下表,并比较3x ,3(x间有何关系? 间有何关系? x
上加下减
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 时向 a<0时,向下 时向
对称轴 y轴 轴 y轴 轴
顶点坐标 （0,0） ） （0,c） ）
a>0时,向上 时向 y=ax2+c a<0时,向下 时向
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函数y=3(x-1)²的图像是什么 的图像是什么? 函数 的图像是什么 它与y=3x²的图像有什么关系？ 的图像有什么关系？ 它与 的图像有什么关系 1、完成下表
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画图看一看
把y=3x²的图像沿轴向右平 的图像沿轴向右平 个单位就得到y=3(x-1)² 移1个单位就得到 个单位就得到 的图像 把y=3x²的图像沿轴向左平 的图像沿轴向左平 个单位就得到y=3(x+1)² 移1个单位就得到 个单位就得到 的图像
函数 图像 抛物 线 抛物 线 开口 方向 向上
最值 开口大小
最小值为0. 当x=h时,最小值为 时 最小值为
a 越大 开口越小 越大,开口越小 开口越小.
最大值为0. 当x=h时,最大值为 时 最大值为
a 越小 开口越大 越小,开口越大 开口越大.
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二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系 二次函数
二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛 二次函数 物线y=ax2先沿着 轴向右平移后得到的 先沿着x轴向右平移后得到的 物线 • 当h < 0 时 向左平移∣h∣个单位得到 平移∣ ∣个单位得到. • 当h > 0 时 向右平移∣h∣个单位得到 平移∣ ∣个单位得到.
y=3(xy=3(x-1)2
向上
y=3(x+ y=3(x+1)2
向上 （-1， 直线x=， 抛物 www.1230.org 初中数学资源网直线 1 0） 线 ）
猜一猜,函数 猜一猜 函数y=-3(x-1)²,y=-3(x+1)2和y=-3x² 函数 和 的图象的位置和形状.
函数 图像 抛物线 开口 方向 向下