超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
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二次函数图象的几何变换
内容基本要求略高要求较高要求二次函数
1.能根据实际情境了解二次函数
的意义;
2.会利用描点法画出二次函数的
图像;
1.能通过对实际问题中的情境分
析确定二次函数的表达式;
2.能从函数图像上认识函数的性
质;
3.会确定图像的顶点、对称轴和
开口方向;
4.会利用二次函数的图像求出二
次方程的近似解;
1.能用二次函数解
决简单的实际问
题;
2.能解决二次函数
与其他知识结合
的有关问题;
(1)具体步骤:
先利用配方法把二次函数化成2
()
y a x h k
=-+的形式,确定其顶点(,)
h k,然后做出二次函数
2
y ax
=的图像,将抛物线2
y ax
=平移,使其顶点平移到(,)
h k.具体平移方法如图所示:
(2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
2
y ax bx c
=++关于x轴对称后,得到的解析式是2
y ax bx c
=---;
()2
y a x h k
=-+关于x轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k
=---;
2. 关于y轴对称
2
y ax bx c
=++关于y轴对称后,得到的解析式是2
y ax bx c
=-+;
()2
y a x h k
=-+关于y轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k
=++;
3. 关于原点对称
2
y ax bx c
=++关于原点对称后,得到的解析式是2
y ax bx c
=-+-;
()2
y a x h k
=-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k
=-+-;
4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
5. 关于点()m n ,
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数图象的平移变换练习
1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到,那么平移的步骤是:( )
A. 右移两个单位,下移一个单位
B. 右移两个单位,上移一个单位
C. 左移两个单位,下移一个单位
D. 左移两个单位,上移一个单位
2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到,那么平移的步骤是( )
A. 右移三个单位,下移四个单位
B. 右移三个单位,上移四个单位
C. 左移三个单位,下移四个单位
D. 左移四个单位,上移四个单位
3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象( )
A. 向左移动1个单位,向上移动3个单位.
B. 向右移动1个单位,向上移动3个单位.
C. 向左移动1个单位,向下移动3个单位.
D. 向右移动1个单位,向下移动3个单位.
4、将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a 的值为( )
A . 1
B .2
C .3
D .4
5、把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是
235y x x =-+,则a b c ++=________________. 6、对于每个非零自然数n ,抛物线()()
2211
11n y x x n n n n +=-
+
++与x 轴交于n n A B 、两点,以n n A B 表示这两点间的距离,则112220092009A B A B A B +++…的值是( )
A .
B .
2008
2009
C .
20102009 D .2009
2010
7、把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为
2009
2008
A .()2
13y x =---
B .()2
13y x =-+- C .()2
13y x =--+
D .()2
13y x =-++
8、将抛物线22y x =向下平移1个单位,得到的抛物线是( )
A .
B .
C .221y x =+
D .221y x =-
9、将抛物线2
3y x =向上平移2个单位,得到抛物线的解析式是( )
A. 232y x =-
B. 23y x =
C. 23(2)y x =+
D. 232y x =+
10、一抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+,则平移前抛物线的解析式为________________. 11、如图,
ABCD 中,4AB =,点D 的坐标是(0,8),以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴
上的点A ,B . ⑴ 求点A ,B ,C 的坐标. ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ,求平移后抛物线的解析式.
12、
已知二次函数221y x x =--,求:⑴关于x 轴对称的二次函数解析式;⑵关于y 轴对称的二次函数
解析式;⑶关于原点对称的二次函数解析式.
13、函数2
y x =与2
y x =-的图象关于______________对称,也可以认为2
y x =是函数2
y x =-的图象绕__________旋转得到.
14、在平面直角坐标系中,先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作
()
2
21y x =+()2
21y x =
-