二次函数平移变换

二次函数配方问题

如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2()y a x h k =-+（顶点式）

2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪

⎝

⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a

b a

c a b 44,22

--） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y

（4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422

++-=x x y

（7）432

+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7

关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断

1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )

2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( )

C

二次函数平移 一、本节学习指导

平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。

二、知识要点

1、 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2、平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二：

⑴ 2

y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2

y ax bx c =++ 变成

2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）

⑵2

y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2

y ax bx c =++变成

2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）

3、二次函数2

()y a x h k =-+与2

y ax bx c =++ 的比较

x

A

y O x

B

y O x

C

y O x

D

y O

从解析式上看，2()y a x h k =-+与2

y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，。 注：我们把2

()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。这个函数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2b

h a

=-

： 例1：将二次函数y=x 2

的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） 分析：题目中明确给出是下平移一个单位，所以x 是不变的，向下平移函数值y 减小1个单位，所以平移后是y=x 2

-1，也可以直接用口诀“上加下减”来解答此题。

例2：将二次函数y=x 2的图象平移后，可得到二次函数y=（x+1）2的图象，平移的方法是（ ） 分析：我们观察y=x 2 ，y=（x+1）2， 得到，两个函数的自变量不一样，所以是横向平移，根据口诀“左加右减”可以得出是想左平移1个单位。

三、经验之谈：

二次函数的几种常见形式我们都要清楚，特别是“顶点式”，其优点是直接可以读出顶点坐标和对称轴。一般情况下，我们为了快速获得顶点信息，常常把二次函数的标准式通过配方得到顶点式。

对于平移部分我们要多做练习题，平移的类型共三种：函数值变时纵向平移，自变量变时横向平移，两则都变化时斜着平移。第三种平移较难，我们要分步进行，先横向平移，后纵向平移，或者先纵向平移，后横向平移，得到最终平移结果。 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）

A. 直线3-=x

B. 直线3=x

C. 直线

=x

D. 直线

2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点)

,(a

c

b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数

c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，

则一定有（ ） A. 042>-ac b

B. 042=-ac b

C. 042<-ac b

D. ac b 42-≤0

4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c

B. 9-=b ，15-=c

C. 3=b ，3=c

D. 9-=b ，21=c

5. 已知反比例函数x

k

y =

的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）

B

x

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数

c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

B

D

7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）

A. 2-=x

B. 2=x

C. 1-=x

D. 1=x

8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）

A. 2-

B. 2

C. 1-

D. 1

9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若

c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）

A. 0>M ，0>N ，0>P

B. 0N ，0>P

C. 0>M ，0P

D. 0N ，0

10. 将二次函数322+-=x x y 配方成

k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________.

11. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根