二次函数平移、旋转、轴对称变换
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）
一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k ±m
y=a(x-h)2 y=a(x-h ±m)2+k 练习：（1）函数
图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3
个单位，得到函数__________________的图象。
（2）抛物线2
25y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2
y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+。
（2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称）
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-。
练习：（1）抛物线2
246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
练习：已知抛物线C 1：2
(2)3y x =-+
（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。
热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与 有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是 .
3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。
由二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象位置判定系数,,a b c 及判别式2
4b ac ?=-和
相关代数式符号的方法可以归纳成下表：
与抛物线的关系
判别方法 a
a 决定抛物线的开口方向和大
小;a 相等，抛物线的形状相同. 开口向上0a ?>
开口向下0a ?<
b
b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置: 左同右异
对称轴在y 轴左侧,a b ?同号
对称轴在y 轴右侧,a b ?异号 对称轴为y 轴0b ?=
c 决定抛物线与y 轴的交点位置
交点位于y 轴正半轴0c ?> 交点位于y 轴负半轴0c ?< 交点是原点0c ?=
24b ac ?=- 决定抛物线与x 轴的交点个数
抛物线与x 轴有两个交点0??> 抛物线与x 轴有一个交点0??= 抛物线与x 轴没有交点0??<
a+b+c 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 2a 与b 由抛物线的对称轴直线x=－b
2a 确定
4a+2b+c 由x=2时抛物线上的点的位置确定 4a-2b+c
由x=-2时抛物线上的点的位置确定
练习：1、函数y ＝x 2＋mx －2(m ＜0)的图象是( )
2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2所示，那么( )
A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3所示，则( )
A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0
C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4所示，则( ) A ．b ＞0，c ＞0，?＝0 B ．b ＜0，c ＞0，?＝0 C ．b ＜0，c ＜0，?＝0 D ．b ＞0，c ＞0，?＞0
5、二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如图5所示，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＞3 C ．m ＜0 D ．0＜m ＜3
6、y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图6所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7、抛物线图象如图7所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2
-x-2 B 、y=121212++-
x C 、y=12
1
212+--x x D 、y=22++-x x 8、如图8是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝
－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)
第7题图 第8题图 第9题图 9、如图9，看图填空：
（1）a ＋b ＋c_______0；（2）a －b ＋c_______0；（3）2a －b _______0； （4）2a ＋b _______0；（5）4a ＋2b ＋c_______0；（6）a ＋2b ＋c_______0. 三、抛物线的对称性
思考：1、抛物线若与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），则两交点关于__________对称，对称轴可以表示为____________________。
2、一般地，若抛物线上有两点关于对称轴对称，则它们的纵坐标__________;反之, 若抛物线上有两点的纵坐标相等，则它们关于__________对称.由此可得，若抛物线上有两点（x 1，y ）（x 2，y ）关于对称轴对称，则该抛物线的对称轴可以表示为____________________。
练习：1、已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0），其中a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0和9a －3b ＋c ＝0，则该二次函数图象的对称轴是（ ） A ．直线x ＝－2
B ．直线x ＝－1
C ．直线x ＝2
D ．直线x ＝1
2、已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对
称轴为_____________________．
3、已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,2
3
(-
则它与x 轴的另一个交点坐标为__________．
4、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
四、二次函数与其他函数、方程、不等式的关系。 1、二次函数与其他函数。
练习：（1）在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )
（2）函数x
ab
y b ax y =
+=22
1,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )
（3）已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )
（4）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x
++=
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
(5)抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x
+ x 2
+
1 < 0的解集是 ( )
A ．x > 1
B ．x < ?1
C ．0 < x < 1
D ．?1 < x < 0
2、二次函数与方程、不等式（组）
（1）如图1，抛物线y = x 2
+ 1与双曲线y = k x
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等
式 k x
+ x 2
+ 1 < 0的解集是 ( )
A ．x > 1
B ．x < ?1
C ．0 < x < 1
D ．?1 < x < 0
第1题图 第2题图 第3题图
（2）如图2，是二次函数y=ax 2
+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2
+bx+c ＜0的解集是 . （3）利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________；②方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； ③方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________；④不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； ⑤不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________；
x
y
A
y x
O y x
O C ．
y x
O y x
O D ．
1 1
O y
y
A
⑥不等式组－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．
---精心整理，希望对您有所帮助
二次函数(旋转-折叠)
二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移） 1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式． （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．
2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．
3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题： （1）求出该抛物线所表示的函数解析式； （2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由； （3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．
二次函数图像的平移、旋转、对称
一、抛物线的变化的实质练习 （一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。 （二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 （三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位 二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式 一、运用平移求解析式 1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+ 2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()2 33y x =-- 所以可得6b =-，6c = 3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -， ，可得1a =-， 所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4．将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．
【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843??-- ?? ?，，关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--
二次函数平移旋转轴对称变换
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 ±m 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。 （2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。 （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。 练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为() A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是.
一元二次方程,二次函数,旋转,圆练习进步
九年级上册复习 （一）一元二次方程： 一元二次方程的认识： 1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,其二次项系数是__, 一次项系数是__ _ 常数项是____. 2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则m=( ) 3、用直接开平方法：(x+2)2=９ 4、用配方法解方程4x2-8x-5=0 5、用公式法解方程3x2=4x+7 6、用分解因式法解方程（y+2)2=3(y+2） 7、解下列方程 1、(x+5)(x-5)=7 2. x(x-1)=3-3x 3. x2-4x+4=0 4、3x2+x-1=0 5. x2+6x=8 6、m2-10m+24=0 8方程x2-4x+4=0根的情况是（） 9如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（） 10若方程x2-(k+1)x+k=0两个实数根互为相反数，则k=___ 11、求证关于x的方程x2-（m-2）x-2m-1=0总有两个不相等的实数根 12、x1、x2 是方程x2-（m-2）x-2m-1=0的两个根。且x12 + x22 =10，求m的值 13、若一元二次方程x2-10x+21=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是( ) .
14、已知a2+3a-1=0则2a2+6a-3=_____ 15、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价百分率相同，求两次降价的百分率。 16 求这个百分数。 17、某水果批发商场经销一种高档水果 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？商场最多每天可赚多少钱？ 18、百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 19、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 20、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打
二次函数中的旋转平移对称变换
二次函数中的旋转、平移、对称变换 2 1、如图，已知抛物线 y=x+bx+c 经过A （1，0），B （0，2）两点，顶点为D 。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为D ，若点N 在平移后的抛物线11 上，且满足△NBB 的面积是△NDD 面积的2倍，求点N 的坐标。 11 2 ），，2），B （0，解：（1）已知抛物线y=x+bx+c 经过A （10 2 -3x+2；∴y=x ，解得，∴所求抛物线的解析式为（2）∵A （1，0） ，B （0，2），∴OA=1，OB=2， 2 ，-3x+2得y=2x=33，1），当时，由y=x 可得旋转后C 点的坐标为 （ 2 2），y=x-3x+2过点（3，可知抛物线 ，y 轴向下平移1个单位后过点C ∴将原抛物线沿2 y=x-3x+1； ∴平移后的抛物线解析式为：22 点坐标为（+1），x ，x-3x-3x+1）∵点（3N 在y=x 上，可设N 000 2 -3x+1将y=x ，∴其对称轴为配方得，
时，如图①， ）；的坐标为（N1，-1此时∴点 ②当时，如图②， 同理可 得． ），N的坐标为（3， 1此时∴点）或（3，1）。综上，点 N的坐标为（1，-1 m（，1）如图所示放置，点2、在平面直角坐标系中，矩形OABCA在x轴上，点B的坐标为（m ，得到矩形OA′B′C′．，将此矩形绕＞0）O点逆时针旋转90°、C′的坐标；（1）写出点A、A′可用含cb（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、、的式子表示）m）中的抛物线上？D（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点是否可能落在（2 若能，求出此时m的 值．
二次函数中的旋转、平移、对称变换
二次函数中的旋转、平移、对称变换 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标。 解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）， ∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2， 可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）， ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C， ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1； （3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1）， 将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为， 时，如图①， 此时∴点N的坐标为（1，-1）； ②当时，如图②， 同理可得
此时∴点N的坐标为（3，1）， 综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。 2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m ＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′． （1）写出点A、A′、C′的坐标； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值． 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0）， ∴A（m，0），C（0，1）， ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成， ∴A′（0，m），C′（-1，0）； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0）， ∴，解得， ∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； （3）存在． ∵点B与点D关于原点对称，B（m，1）， ∴点D的坐标为：（-m，-1）， ∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； 假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上， 则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， ∵△=22-4×（-2）×1=12＞0， ∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）． 3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB
(完整版)二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题.doc
二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2 +1 的图象 ①向上平移 3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4 ； ②向下平移 4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3 ； ③向左平移 5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2 （x+5 ）2 +1 ； ④向右平移 6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2 （x-6 ）2+1 ． 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+c 向上平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2 +c+m ； 向下平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2 +c-m ； 向左平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （ x+n ）2 +c ； 向右平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （ x-n ）2 +c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数 y=x 2 -2x-3 的图象， ⑤沿 x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3 ． ⑥沿 y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 若沿 x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿 y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2 -bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 1 1 将二次函数 y=- 2x2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是 y=2x2-x+1 ； 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转 180 °，所得图象的函数表达式是 y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下）
第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题
二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题 1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b 2a)2＋ 4ac－b2 4a 2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动； 例题： 1、（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式 是． 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1， 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3， 故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质． 2、（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和．
考点：二次函数图象与几何变换． 专题：新定义． 分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式． 解答：解：连接AB， 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零， 设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形， 设OM=2，则点A的坐标是（1，）， 则， 解得： 则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x， 抛物线C2的解析式为y=x2+2x， 故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x． w W w .x K b 1.c o M 点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．
第5讲 二次函数背景下的平移与旋转(含答案)
第5讲 二次函数背景下的平移与旋转 1、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），顶点C 在第一象限，直角顶点B 在第四象限，且AB ∥x 轴。已知抛物线12212-+-=x x y 过A ，B 两点，顶点为P 。 （1）求点B ，C 的坐标； （2）平移抛物线122 12-+-=x x y ，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q 。若点M 在直线AC 下方，且为平移前抛物线上的点，当以M ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标。 2、如图1，二次函数122 12+-=x x y 的图象与一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且AONB AMO S S 四边形:?＝1:48。 （1）求直线AB 和直线BC 的解析式； （2）如图2，直线AB 上有一点K （3，4），将二次函数122 12+-=x x y 沿直线BC 平移，平移的距离是t （t ≥0），平移后抛物线上点A ，C 的对应点分别为点A′，C′。当△A′C′K 是直角三角形时，求t 的值。
3、已知抛物线C 1：y ＝2x 。如图1，平移抛物线C 1得到抛物线C 2，C 2经过C 1的顶点O 和A （2，0），C 2的对称轴分别交C 1，C 2于点B ，D 。 （1）求抛物线C2的解析式； （2）探究四边形ODAB 的形状，并证明你的结论； （3）如图2，将抛物线C2向下平移m 个单位（m ＞0）得到抛物线C 3，C 3的顶点为G ，与y 轴交于点M 。点N 是点M 关于x 轴的对称点，点P （﹣34m ，3m ）在直线MG 上。当m 为何值时，在抛物线C3上存在点Q ，使得以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？ 4、如图1，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线C ：c bx ax y ++=2与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB ＝42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′。 （1）求抛物线C 的函数表达式； （2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围； （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点为P′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PM P′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题(可编辑修改word版)
（ 2011?桂林） 在平面直角坐标系中， 将抛物线 y=x 2+2x+3绕着它与 二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数 y=2x 2+1的图象 ①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4； ②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3； ③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6） 2 +1． 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+c 向上平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ； 向下平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ； 向左平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ； 向右平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数 y=x 2-2x-3的图象， ⑤沿 x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿 y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 若沿 x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿 y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 将二次函数 y=- 1 x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是 y= 1 2 2 x 2-x+1； 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是 y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下） 1、 y 轴的交
二次函数中的旋转、平移、对称变换
二次函数中的旋转、平移、对称变换
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二次函数中的旋转、平移、对称变换 1、如图，已知抛物线ｙ=x2＋bx＋c经过A（1，0)，B（0，２)两点,顶点为Ｄ。 (1）求抛物线的解析式； (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式； (３）设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为Ｄ1，若点N在平移后的抛物线上,且满足△NＢＢ１的面积是△NDＤ1面积的2倍,求点N的坐标。 解:(1)已知抛物线y=x2+bｘ+c经过A(1，0),B(0,2), ∴,解得,∴所求抛物线的解析式为y=x2－３x＋２； (2)∵Ａ（1,０），B（0，2），∴OA＝1,OB＝2, 可得旋转后C点的坐标为(3，1）,当x=3时,由y=x2-3x+２得y=2， 可知抛物线ｙ=x２-3x＋２过点(３，２）， ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点Ｃ， ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2－３x+1；? (３）∵点N在y=x2-３x+1上,可设Ｎ点坐标为(x０，x０2-3ｘ0＋1）， 将ｙ=x2-３x+1配方得,∴其对称轴为, 时,如图①, 此时∴点N的坐标为（1，-１); ②当时，如图②, 同理可得
此时∴点N的坐标为（３,1), 综上,点Ｎ的坐标为(1,-1）或（3,１)。? 2、在平面直角坐标系中,矩形OＡBC如图所示放置,点Ａ在x轴上,点B的坐标为(ｍ，1）(m>0）,将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形ＯA′B′C′． （1)写出点Ａ、A′、C′的坐标; (２）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y＝ax2+ｂx+c，求此抛物线的解析式;(a、b、c可用含m 的式子表示) （３）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点Ｄ是否可能落在（２）中的抛物线上？若能,求出此时m的值． 解：(1)∵四边形ABCO是矩形,点B的坐标为（m，1）（m＞0), ∴Ａ（ｍ，0)，C（0，1）, ∵矩形OA′B′Ｃ′由矩形OAＢC旋转而成,?∴A′(0，m),C′（-1,0）;? （2)设过点Ａ、A′、C′的抛物线解析式为y=aｘ2+bｘ+c，?∵Ａ(m,０），A′(0,m)，C′(-1，０),? ∴，解得,?∴此抛物线的解析式为:y＝-ｘ2+(m－1）x ＋m; (3)存在． ∵点B与点D关于原点对称,B（m，１)， ∴点D的坐标为：(-m，-1)， ∵抛物线的解析式为:y=－x２+(m-1)ｘ+m；?假设点D(-m,-１)在（2）中的抛物线上， 则y=－(-m)2+(m-1）×（-m)+m=-1,即－2ｍ２＋2ｍ＋1=０，?∵△=22-４×(-2)×1=12>0，?∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）． 3、在平面直角坐标系中，Ｏ为原点,点A（-2,0）,点Ｂ(0,2)，点Ｅ，点F分别为ＯＡ,OB的中点．若正方形ＯEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE’D’Ｆ’,记旋转角为α． （Ⅰ)如图①，当α=90°,求AE’,BF’的长； （Ⅱ)如图②,当α＝１35°,求证AE’=BF’，且AＥ’⊥ＢF’； （Ⅲ）若直线ＡE’与直线ＢF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可).
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【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 抛物线的上下平移：________________________ y=a(x-y=a(x-h)2+k±m 抛物线的左右平移：________________________ y=a(x-y=a(x-h±m)2+k 练习：（1）函数图象沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。 （2）抛物线225 =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单 y x x 位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2 y a x h k =--+。 =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2 y a x h k =-+-。 =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k 练习：（1）抛物线2246 =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物 y x x 线的解析式是 （2）将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1
3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式 为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与 有 关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是 . 3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是 ， 与x 轴的交点坐标是 。 由二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象位置判定系数,,a b c 及判别 式24b ac ?=-和相关代数式符号的方法可以归纳成下表：
二次函数平移、旋转、轴对称变换
@ 二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 y=a(x-h)22+k ±m y=a(x-h)2±m)2+k 练习：（1）函数 图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3 个单位，得到函数__________________的图象。 … （2）抛物线2 25y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。 （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-。 练习：（1）抛物线2 246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2 ＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) （ A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2 －1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； ' 练习：已知抛物线C 1：2 (2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2 +bx+c 的开口方向与 有关。
二次函数+旋转综合大题
1、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 参考答案 一、综合题 1、解：（1）由抛物线C1：得 顶点P的为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴ 解得，a＝ （2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G ∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 ∴顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为 （3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到 ∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5 设点N坐标为（m，5） 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K ∵旋转中心Q在x轴上 ∴EF＝AB＝2BH＝6 ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）， 根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34 ①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 抛物线的上下平移：___________________ y=a（x-h）2+k y=a（x-h）2+k ± m 抛物线的左右平移：___________________ y=a（x-h）2+k y=a（x-h ± m）2+k 练习：（ 1）函数图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，再沿 x 轴向右 平移 3 个单位，得到函数______________ 的图象。 （2）抛物线y x2 2x 5向左平移3个单位，再向下平移 6 个单位，所得抛物线的 解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 1）将抛物线绕其顶点旋转180 （即两条抛物线关于其顶点成中心对称） 22 y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。 （2）将抛物线绕原点旋转180 （即两条抛物线关于原点成中心对称） 22 y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。 练（1）抛物线y 2x2 4x 6 绕其顶点旋转180 后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（）2 2 2 2 A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 3、抛物线的轴对称变换：关于 x 轴对称 y ax2 bx c关于 x轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ； 22 y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；关于y 轴对称 22 y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c； 22 y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ； 练习：已知抛物线C1：y （x 2）2 3 （1）抛物线C2与抛物线C1关于y 轴对称，则抛物线C2的解析式为 2）抛物线C3与抛物线C1关于x 轴对称，则抛物线 C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线 2 y=ax2+bx+c 的对称轴是. 3、抛物线 2 y=ax2+bx+c 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标 是。
二次函数的平移与旋转例谈
二次函数的平移与旋转例谈 二次函数的平移与旋转是两种重要的变换,因此有时也在中考试卷中亮相,只要大家掌握平移与旋转的规律,这类问题就能迎刃而解,现举例分析如下: 例1 （兰州）将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ） A.1)1(32---=x y B. 1)1(32-+-=x y C.1)1(32+--=x y D. 1)1(32++-=x y 分析:抛物线绕原点按顺时针方向旋转180°后,开口向下,解析式为23x y -=,然后向下平移一个单位后解析式为: 23x y -=-1,再向右平移1个单位后解析式为1)1(32---=x y ,故选 A. 评注:抛物线的旋转实质上是改变开口方向.平移遵循左加右减,上加下减. 例2 (上海)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0). (1) 求该二次函数解析式; (2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图 象与x 轴的另一个交点的坐标. 分析:已知二次函数的顶点坐标,求二次函数解析式用顶点式,然后求出抛物线与x 轴的两个交点坐标,进而求得该函数向右平移的单位和另一个交点坐标. 解:(1)设二次函数解析式为().412 --=x a y ∵二次函数图象过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1. ∴二次函数解析式为().412 --=x y 即.322--=x x y (2)设y=0得.0322 =--x x 解方程得.1,321-==x x 二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0). ∴二次函数向右平移1个单位后经过原点. ∴平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4,0). 评注:二次函数()k h x a y +-=2的图象可由抛物线2ax y =向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.平移规律:左加右减,上加下减. 例3 (山东滨州)（1）把二次函数2339424y x x =- ++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =- ++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？ （3）如果抛物线2339424 y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）． 分析:本题考查了配方法.通过配方法可以求出顶点坐标和对称轴,可以看到图象之间的变换关系.至于应用情境,找符合图象且满足图象中与y 轴交点正确、顶点正确的情境即可.