二次函数平移、旋转、轴对称变换

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）

一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±m

y=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数

图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3

个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线2

25y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2

y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2

246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

练习：已知抛物线C 1：2

(2)3y x =-+

（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。

热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与 有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是 .

3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。

由二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象位置判定系数,,a b c 及判别式2

4b ac ∆=-和

相关代数式符号的方法可以归纳成下表：

与抛物线的关系

判别方法 a

a 决定抛物线的开口方向和大

小;a 相等，抛物线的形状相同. 开口向上0a ⇔>

开口向下0a ⇔<

b

b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置: 左同右异

对称轴在y 轴左侧,a b ⇔同号

对称轴在y 轴右侧,a b ⇔异号 对称轴为y 轴0b ⇔=

c 决定抛物线与y 轴的交点位置

交点位于y 轴正半轴0c ⇔> 交点位于y 轴负半轴0c ⇔< 交点是原点0c ⇔=

24b ac ∆=- 决定抛物线与x 轴的交点个数

抛物线与x 轴有两个交点0⇔∆> 抛物线与x 轴有一个交点0⇔∆= 抛物线与x 轴没有交点0⇔∆<

a+b+c 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 2a 与b 由抛物线的对称轴直线x=－b

2a 确定

4a+2b+c 由x=2时抛物线上的点的位置确定 4a-2b+c

由x=-2时抛物线上的点的位置确定

练习：1、函数y ＝x 2＋mx －2(m ＜0)的图象是( )

2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2所示，那么( )

A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0

D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3所示，则( )

A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0

B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0

C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0

D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4所示，则( ) A ．b ＞0，c ＞0，∆＝0 B ．b ＜0，c ＞0，∆＝0 C ．b ＜0，c ＜0，∆＝0 D ．b ＞0，c ＞0，∆＞0

5、二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如图5所示，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＞3 C ．m ＜0 D ．0＜m ＜3

6、y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图6所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7、抛物线图象如图7所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2

-x-2 B 、y=121212++-

x C 、y=12

1

212+--x x D 、y=22++-x x 8、如图8是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝

－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)

第7题图 第8题图 第9题图 9、如图9，看图填空：

（1）a ＋b ＋c_______0；（2）a －b ＋c_______0；（3）2a －b _______0； （4）2a ＋b _______0；（5）4a ＋2b ＋c_______0；（6）a ＋2b ＋c_______0. 三、抛物线的对称性

思考：1、抛物线若与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），则两交点关于__________对称，对称轴可以表示为____________________。

2、一般地，若抛物线上有两点关于对称轴对称，则它们的纵坐标__________;反之, 若抛物线上有两点的纵坐标相等，则它们关于__________对称.由此可得，若抛物线上有两点（x 1，y ）（x 2，y ）关于对称轴对称，则该抛物线的对称轴可以表示为____________________。