二次函数中的旋转、平移、对称变换

二次函数中的旋转、平移、对称变换

1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标。

解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），

∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2；

（2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，

可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，

可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2），

∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，

∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；

（3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1），

将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为，

时，如图①，

此时∴点N的坐标为（1，-1）；

②当时，如图②，

同理可得

此时∴点N的坐标为（3，1），

综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。

2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m ＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．

（1）写出点A、A′、C′的坐标；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）

（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．

解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），

∴A（m，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，

∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），

∴，解得，

∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；

（3）存在．

∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），

∴点D的坐标为：（-m，-1），

∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；

假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，

则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，

∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，

∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）．

3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB

的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.

（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE’，BF’的长；

（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE’＝BF’，且AE’⊥BF’；

（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.

4、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与

y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．

（2）∵点P的横坐标为m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．

∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|

①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；

②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假设存在．作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．

由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

∴，即，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2| ∴|﹣m2+m+2|=|m|．

①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；

②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m=3+或m=3﹣．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．