二次函数中的旋转、平移、对称变换
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二次函数中的旋转、平移、对称变换
1、如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标。
解:(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2),
∴,解得,∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2;
(2)∵A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,
可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2),
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C,
∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;
(3)∵点N在y=x2-3x+1上,可设N点坐标为(x0,x02-3x0+1),
将y=x2-3x+1配方得,∴其对称轴为,
时,如图①,
此时∴点N的坐标为(1,-1);
②当时,如图②,
同理可得
此时∴点N的坐标为(3,1),
综上,点N的坐标为(1,-1)或(3,1)。
2、在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置,点A在x轴上,点B的坐标为(m,1)(m >0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.
(1)写出点A、A′、C′的坐标;
(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,求此抛物线的解析式;(a、b、c可用含m的式子表示)
(3)试探究:当m的值改变时,点B关于点O的对称点D是否可能落在(2)中的抛物线上?若能,求出此时m的值.
解:(1)∵四边形ABCO是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),
∴A(m,0),C(0,1),
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成,
∴A′(0,m),C′(-1,0);
(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
∵A(m,0),A′(0,m),C′(-1,0),
∴,解得,
∴此抛物线的解析式为:y=-x2+(m-1)x+m;
(3)存在.
∵点B与点D关于原点对称,B(m,1),
∴点D的坐标为:(-m,-1),
∵抛物线的解析式为:y=-x2+(m-1)x+m;
假设点D(-m,-1)在(2)中的抛物线上,
则y=-(-m)2+(m-1)×(-m)+m=-1,即-2m2+2m+1=0,
∵△=22-4×(-2)×1=12>0,
∴此点在抛物线上,解得m=或m=(舍去).
3、在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB
的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE’D’F’,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°,求AE’,BF’的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°,求证AE’=BF’,且AE’⊥BF’;
(Ⅲ)若直线AE’与直线BF’相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).
4、如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与
y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(m,0).
∴PE=|y P﹣y E|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|y E﹣y F|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|
①若﹣m2+m+2=m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,解得:m=2或m=;
②若﹣m2+m+2=﹣(m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2| ∴|﹣m2+m+2|=|m|.
①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;
②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m=3+或m=3﹣.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+这个解舍去.
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3).