第四节 反常积分 无穷限广义积分 无界函数的广义积分

例 3 证明广义积分 当 p 1 时发散.

1 x
p
1
dx 当 p 1 时收敛，
证 (1) p 1,1

1 x
dx p
1

1 x
dx ln x 1 ,

, p 1 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
定义 2 设函数 f ( x ) 在区间( a , b] 上连续，而在 点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0 a
lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
2
sin
1 x
dx .


1 x
2
sin 2
b
1 x
dx 2 sin


1 1 d x x
b
lim
b

2
1 1 1 sin d lim cos b x2 x x

1 lim cos cos 1. b b 2
a
f ( x )dx .
a

f ( x )dx lim
a f ( x )dx b
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
a b ，如果极限 lim
a a
b
f ( x )dx 存在，则称此极
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 ( , b] 上的广义 积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim
a f ( x )dx a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如果 广义积分
1 p
例4
证明广义积分

a
e
px
dx 当 p 0 时收敛，
当 p 0 时发散.
证
a

e
px
Hale Waihona Puke dx lima e b
b px
e dx lim b p a
px
b
e ap e pa e pb , p0 p lim b p p , p0
2 3
0 0
3
3
3 3 2,
3
0 1
2 3

( x 1)
3(1 3 2 ).
例8 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
3
2 3
. dx
x 1瑕点
解
0 0 1
1
3
dx ( x 1) dx ( x 1) dx ( x 1) 3 dx
0
2 3 2 3 2 3
( )
0 1
1
( x 1)
2 3
lim lim
2 3
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
例5 计算广义积分 0 解
lim 1 a x
2 x a 0
a
dx a x
2 2
(a 0).
2
,
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
dx a x
2 2
lim
a
a
dx a x
2 2
0 0
a x lim arcsin 0 . lim arcsin 2 0 a a 0 0
b
在区间( a , b] 上的广义积分，记作 a f ( x )dx .
a f ( x )dx lim0 a
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
[ 类似地，设函数 f ( x ) 在区间 a , b ) 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
第四节 反常积分
• 一、无穷限的广义积分 • 二、无界函数的广义积分 • 三、小结
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取
b a ，如果极限 lim
b a
b
f ( x )dx 存在，则称此极
限 为 函 数 f ( x ) 在 无 穷 区 间[a , ) 上 的 广 义 积 分，记作
a
c
f ( x )dx 和 f ( x )dx 都收敛，则定义
c
b
a
b
f ( x )dx
c
a
c
f ( x )dx f ( x )dx
c
b
lim
0 a
f ( x )dx lim
b a
c f ( x )dx 0
b
否则，就称广义积分 f ( x )dx 发散.
0 b b
1
1
lim arctan x a lim arctan x 0
a
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例2 计算广义积分 解

1 x
2
0
f ( x )dx 和

0
f ( x )dx 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作


f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx
lim

0

b

0
f ( x )dx
a f ( x )dx blim 0 a
0
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 解


dx 1 x
2
.

1 x 2 1 x 2
lim
0
dx
0
dx

b
dx 1 x
2
0
a 1 x 2 dx blim 0 1 x 2 dx a
0 a
b
lim
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作 a f ( x )dx lim
b
0 a
b
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点c ( a c b ) 外连 续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分