弹性力学极坐标公式记忆规律

对应变量和算符 附加项 ( 2) γxy = 5v 5u + 5x 5y γr θ= 5u 5 ur u θ θ + - 5r r5θ r
对应变量和算符 附加项 ( 1)
56
力学与实践 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
5τ 5σ xy y + + Y =0 5x 5y
τ 5τ θ 5 θ θ r 1 1 τ + + τ θ+ θ + K θ= 0 5 r r5θ r r r r 对应变量和算符 附加项 ( 2) 对应变量 即 5τ 5σ 2τ θ θ θ r r + + + K θ= 0 5 r r5θ r 参 考 文 献
( 1) 径向变量 , 需减去相应环向变量与 ( 2) 环向变量 , 需加上相应径向变量与 ( 3) 微分算符 : r5θ
5
1
r
之积 ; 之积 ;
1
r
向分量分别对应 . 例如有对应关系
u ∴ ur v ∴u θ
5 5 , 当作径向变量 ; , 当作 5r r5θ 环向变量 . 按 ( 1) , ( 2) 方法处理 . 按以上规律 , 可容易地写出极坐标的几何方程 , 物理方程 , 斜面应力公式 , 斜向应变公式 , 应力分量 与应力函数的关系 , 应力函数表达的相容方程 , 应力 分量表达的平衡微分方程 . 下面按记忆规律写出这些方程式 ( 物理方程 , 斜 面应力公式和斜向应变公式的转换都很直观 , 故略去 不写) , 附加项添写方法的编号标在底注的括弧里 .
1 徐芝纶 . 弹性力学 . 北京 : 高等教育出版社 , 1982 (1996 年 11 月 14 日收到第 1 稿 , 1997 年 3 月 20 日收到修改稿)
如果方法掌握得熟练 , 完全能够直接写出公式的 最后形式 . 以上方程式基本上包括了弹性力学常用的极坐标 方程式 .
第 19 卷 ( 1997 年) 第 6 期 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
ε γr θ γ θ x ∴ε r ε y ∴ε xy ∴ σ σ τ θ τ θ x ∴σ r σ y ∴ xy ∴ r
x ∴ Kr y∴ K θ
等等 .
直解坐标系
1 . 几何方程
极坐标系
ε x =
u x
ε r =
5 ur
par
对应变量和算符 ε y = 5v 5y ε θ= 5u ur θ + r5θ r
57
2 . 应力分量与应力函数 φ 的关系 ( 忽略体力)
52φ σ x = 5 y2
5 5φ 1 5φ σ r = θ r5θ + r 5 r = 5r 对应微分算符 附加项 ( 3 , 2) 52φ 1 5φ 2 + r 5r r2 5θ
52φ σ y = 5 x2 52φ τ xy = 5 x5 y
5σ 5τ x yx + + X =0 5x 5y
5σ 5τ θ r r 1 1 + + τ - τ θ θ + Kr = 0 5 r r5θ r rr r 对应变量和算符 附加项 ( 1 , 2) 对应变量 即 σ 5σ 5τ θ θ r r r - σ + + + Kr = 0 5 r r5θ r
52φ σ θ= 5 r2 对应微分算符 5 5φ 1 5φ τ θ= r r5θ 5 r r r5θ 52φ 1 5φ + r5 r5θ r2 5θ
=
对应微分算符 附加项 ( 3 , 1) 3 . 应力函数 φ 表达的相容方程 ( 忽略体力)
2 2
φ= 0
2
2
2
φ= 0
2
其中 ,
弹性力学极坐标公式记忆规律
薛福林
( 哈尔滨工业大学航天工程与力学系 , 哈尔滨 150001)
摘要 提出了一个记忆弹性力学极坐标公式的规律. 关键词 弹性力学 , 记忆 , 极坐标公式 弹性力学平面问题直角坐标公式有一定的规律 , 容易记忆 . 极坐标公式比直角坐标公式复杂 , 难以记 忆 . 笔者找到一种记忆规律 , 只需记住了直角坐标公 式 , 就可循该规律写出极坐标公式 . 为说明该规律 , 首先建立直角坐标和极坐标之间 变量和微分算符的对应关系 : 直角坐标位移 、应变 、应力 、体力各量的 x 向分 量和极坐标位移 、应变 、应力 、体力各量的径向分量 分别对应 ; 直角坐标位移 、应变 、应力 、体力各量的
=
Biblioteka Baidu
52 52 2 + 5x 5 y2
其中 ,
=
52 5 5 1 5 + + = 转换 r 5r 5 r2 r5θ r5θ
对应微分算符 附加项 ( 3 , 2) 52 52 1 5 2+ 2 2+ r 5r 5r r 5θ
4 . 应力分量表达的平衡微分方程 (σ θ 同τ θ θ) r 同τ rr , σ
y 向分量和极坐标位移 、应变 、应力 、体力各量的环
微分算符的对应关系为 5 5 5 5 ∴ , ∴ θ 5x 5r 5y r5 以上的对应关系很容易理解和记忆 . 极坐标公式记忆规律 : 按以上对应关系 , 将直角 坐标公式中的变量换成对应变量 , 微分算符换成对应 微分算符 ; 然后按下法添上附加项 , 当最外层的 作用的对象是 :