弹性力学 第四章 应力和应变关系
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
材料力学公式范文
材料力学公式范文1.应力和应变关系：-杨氏模量公式：应力与应变之间的线性关系可以由杨氏模量表示。
杨氏模量（E）定义为单位应力下材料单位截面积的应变量。
数学表达式为：E=σ/ε其中，E表示杨氏模量，σ表示应力，ε表示应变。
-泊松比公式：泊松比（ν）是一个定义了材料在拉伸时的侧向收缩程度的无量纲指标。
数学表达式为：ν = -ε_lat / ε_axi其中，ν表示泊松比，ε_lat表示侧向应变，ε_axi表示轴向应变。
2.弹性力学：-吕贝公式：吕贝公式描述了材料的线弹性行为。
对于无损变形的均匀线性弹性材料，吕贝公式可以用来计算应力与应变之间的关系。
数学表达式为：σ=E·ε其中，σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
-肖克莱公式：肖克莱公式描述了材料的体弹性行为。
对于无损变形的均匀体线性弹性材料，肖克莱公式可以用来计算应力与应变之间的关系。
数学表达式为：σ=2G·ε其中，σ表示应力，G表示剪切模量，ε表示应变。
3.塑性力学：-流动应力公式：流动应力是材料进入塑性区域后所承受的应力。
流动应力与应变率成正比，其关系可以用流动应力公式表示。
数学表达式为：τ=k·ε˙其中，τ表示流动应力，k表示流动应力系数，ε˙表示应变率。
-屈服强度公式：屈服强度是材料开始发生塑性变形的应力值。
材料塑性变形的起始点通常是材料的屈服点。
屈服强度可以用屈服强度公式来计算。
数学表达式为：σ_y=k·ε_y其中，σ_y表示屈服强度，k表示应力系数，ε_y表示屈服应变。
4.破裂力学：-格里菲斯破裂准则：格里菲斯破裂准则描述了材料的破裂行为。
根据格里菲斯破裂准则，材料的破裂强度与材料的表面能有关。
σ_c=K_c/(√π·c)其中，σ_c表示破裂强度，K_c表示材料的断裂韧性，c表示破裂前裂纹的长度。
-马克斯韦尔应力准则：马克斯韦尔应力准则描述了材料破裂时应力场的分布情况。
马克斯韦尔应力准则可以用来估计材料破裂时的应力水平。
弹性力学：04 应力和应变的关系
C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C3233 C1333 C2133
C1123 C2223 C3323 C2323 C3123 C1223 C3223 C1323 C2123
C1131 C2231 C3331 C2331 C3131 C1231 C3231 C1331 C2131
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
ij
0ij
2G ij
2 3
G ij
K
2 3
G
E
31 2
G
=
E 2(1 +
ν)
由于偏量和球量相互独立 ，所以有 (因为偏量的球量等于零，球量的偏量等于零)
0 K ; ij 2Gij
Chapter 5.1
广义胡克定律
0 K ; ij 2Gij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
4应力与应变关系
§4－1 广义虎克定律
基本变形时的胡克定律
y
1）轴向拉压胡克定律 x E x 横向变形
x
x
y x
2）纯剪切胡克定律
x
E
G
物体中一点的应力状态用六个应力分量所确定，同一点 的应变状态用六个应变分量所确定。故应力与应变之间的关 系可以用下列解析形式的函数来表示 • 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy， yz， zx) y= y (x，y，z， xy， yz， zx) ……. zx= zx (x，y，z， xy， yz， zx)
可以得到：
x y z
x x (3 2 ) y z x 2 (3 2 )
xy yz zx 0
比较可以得到：
(3 2 ) E ; 2( ) E E ; (1 )(1 2 ) 2(1 )
y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx
z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx
xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx
yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx
对于正交各向异性体，由于对称 关系（正应力分量只产生线应变， 不产生剪应变）。因此，弹性矩阵 中的36个弹性常数中，有24个为0， 在剩下的12个只有9个是独立的。
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹性力学-第四章-本构关系
∵
E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K
2 3
G
E
31 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
∵ ij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2G ij
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Gij kkij Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
弹性关系的常规形式为
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
第四章应力应变关系
4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。
由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。
前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。
弹性力学 第四章 本构关系
0 0 0 0
0 0 0 0
σ zz σ xx σ yy σ xy
= ν xσ xx +ν y σ zz
Ey Ez
σ zz
2）各向同性平面应变本构关系
E2 = E3 = E , ν2 = ν3 = ν , G3 = G,
0 1 / E −ν / E −ν / E 0 ε 1 / E −ν / E 0 22 = ε 33 1/ E 0 1 / 2G ε 23 sys. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23
5个独立的材料常数：E2 ,ν 2 , E3 ,ν 3 , G3 −( σ ε11 = 22 + E2
ν2
ν3
E3
σ 33 )
σ 22 σ 33 σ 23
ε 22 1/ E2 −ν 3 / E3 0 ε = 1/ E3 0 33 ε 23 sym. 1/ 2G3 σ 22 σ = 33 σ 23
E2 / m E2ν 3 / m 0 sym. E3 / m 0 , m = 1 − E2ν 32 / E3 G3
2 → x,
y (3) 3 → y, 1→ z
εzz =−(
εxx εyy ε xy σxx σ yy σ xy
νx
Ex
σxx +
νy
Ey
5个独立的材料常数： Ex ,ν x , E y ,ν y , G y
σ yy )
0 0 1 / 2 Gy
x(2)
1 / Ex = .. sym
− ν y / Ey 1 / Ey
弹性力学第四章应力和应变关系
第四章应力和应变关系应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式；2、广义胡克定律的一般表达式；3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求知识点解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
弹性力学-第四章-本构关系
11
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为：
d A 1 0 1 11 1 d x 2 d x 3d 1 1 d x 1 0 1 11 1 d 1 1 d V
其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上
做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得
D 是四阶柔度张量。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
C ijklC jiklC ijlkC klij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
x c11x c12y c13z c14 xy c15 yz c16 zx y c21x c22y c23z c24 xy c25 yz c26 zx z c31x c32y c33z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41x c42y c43z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51x c52y c53z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61x c62y c63z c64 xy c c 65 yzChapte6r65.1zx
弹性力学第四章应力应变
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
应力和应变之间的关系
应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项
弹性力学第四章 本构关系
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
0K ; ij 2G ij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
ij 1Eij Ekkij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
21
11 c11 c12 c13 c14 c15
弹性力学 第04章应力和应变关系
第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。
这样，物体的弹性常数从21个变为13个。
若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系.
应力和应变之间的关系是可以用弹性力学的材料模型来表示的，它们之间的关系可表示为受力的物体会产生一个应变，这个应变是受力强度和材料的模量来决定的，当应力变化时，物体产生的应变也会变化，关系可以用弹性力学方程来表示：应力= 应变× 模量。
另外，应力和位移之间也有关系，当施加力时，物体会产生一个位移，而位移又是一个受力强度和材料模量共同决定的参数，可用弹性力学方程来表示：应力 = 位移× 模量。
另外，弹性模量有时也称为弹性常数，它可用来衡量材料的弹性程度，以及材料在受力时所受到的影响，它是决定应力和应变、应力和位移关系的一个基本参数，物理现象中可以用来描述物体变形的程度，将应力与物体变形程度结合起来可以确定应力对物体变形的影响。
同时，这种参数也可以用来描述弹性体在受力作用下所产生的变形量。
由于弹性模量的作用，物体对于受力时大小的变形量可以用模量值来确定：弹性模量越大，物体几乎不变形，弹性模量越小，则物体的变形量越大；另外，弹性模量也能够描述物体在受力作用下所产生的力和位移关系，弹性模量越大，物体受到相同力量作用时，其所受到的变形量和位移量也会更小，反之，弹性模量越小，受到相同力量作用时，其所受到的变形量和位移量也会更大。
因此，弹性模量可以决定物体受力后的变形情况，以及材料的弹性程度。
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
弹性力学第四章应力应变
弹性力学问题的求解方法
解析法
通过数学手段，将弹性力学问题转化为数学方程，如微分方程或积 分方程，然后求解这些方程得到弹性体的应力和应变。
数值法
对于一些难以解析求解的弹性力学问题，可以采用数值方法进行求 解，如有限元法、有限差分法等。
实验法
通过实验手段测量弹性体的应力和应变，如拉伸、压缩、弯曲等实验。
本构方程描述了物体内部的应力与应变之间的关系，是材料力学性质的表现。
本构方程的数学表达式因材料而异，对于线性弹性材料，本构方程为：$sigma_{ij} = lambda epsilon_{kk} + 2mu epsilon_{ij}$，其中$lambda$和$mu$分别为拉梅 常数。
04
弹性力学问题解法
01
材料性能评估
利用弹性力学理论，可以对材料的性能进行评估，包括材料的弹性模量、
泊松比、剪切模量等参数，为材料的加工和应用提供依据。
02
材料结构设计
通过弹性力学理论，可以对材料进行结构设计，通过调整材料的微观结
构和组分，优化材料的性能，提高材料的承载能力和稳定性。
03
材料失效分析
弹性力学还可以用于材料失效分析，通过分析材料的应力分布和应变状
分类
单位
根据不同的分类标准，应变可以 分为多种类型，如线应变、角应 变、剪应变等。
应变的单位是单位长度上的变形 量，常用的单位有百分数、弧度 等。
应变状态
01
02
03
单轴应变
当物体受到单向拉伸或压 缩时，只在某一方向上发 生形变，其他方向上保持 不变。
多轴应变
当物体受到多方向上的作 用力时，会在多个方向上 发生形变，形变情况比较 复杂。
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第四章应力和应变关系知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式；2、广义胡克定律的一般表达式；3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。
1、应变能弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则d W=d W1+d W2其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。
变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,d W1+d W2=d E - d Q因为将上式代入功能关系公式，则2、格林公式如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。
绝热过程中，d Q=0，故有d W1+d W2=d E对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得即设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分对上式积分，可得U0=U0（ ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。
在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
3、应变能原理如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程。
设等温过程中，输入物体的单位体积热量为d Q，熵的增量为d S，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有因为，d Q=TdS，所以，Q=TS。
上式中，T 为绝对温度，TS为输入单位体积的热能。
代入公式可得所以上式中，E0为物体单位体积的内能，TS为输入的热能，即U0=E0 - TS 。
所以在等温条件下，功能公式仍然成立。
上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和材料的性质的限制。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此根据齐次函数的欧拉定理，可得即用张量表示，写作设物体的体积为V，整个物体的应变能为。
§4.2 广义胡克定义学习思路:根据弹性体的应变能函数，可以确定本构方程的能量表达形式。
本节的任务是利用应变能函数推导应力和应变的一般关系。
如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式。
对于小变形问题，这个一般表达式可以展开为泰勒级数。
对于各向同性材料，根据应力与应变的性质，可以得到具有36个常数的广义胡克定理。
学习要点：1、应力应变关系的一般表达式；2、广义胡克定理。
1、应力应变关系的一般表达式由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。
本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。
若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的一般表达式为这里的函数f i（i=1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。
对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。
但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。
这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小变形问题。
对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
例如将的第一式展开，可得上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
2、广义胡克定理根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。
对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f 1对应变的一阶偏导数为常数。
因此应力应变的一般关系表达式可以简化为上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数C mn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，C mn是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是C mn 为弹性常数。
§4.3 各向异性弹性体的本构关系学习思路：本节应用应变能函数推导各向异性材料的本构关系。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
学习要点：1、完全各向异性弹性体；2、有一个弹性对称面的弹性体；3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系；4、正交各向异性弹性体；5、正交各向异性弹性体本构关系。
1、完全各向异性弹性体下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。
根据格林公式和广义胡克定律，有对于上式，如果对切应变 xy求偏导数，有同理，有对于上式，如果对正应变 x求偏导数，有因此，C14=C41。
对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C mn=C nm。
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。
其本构方程为2、具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
将x轴绕动z 轴转动π 角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。
新旧坐标系之间的关系为x y z x'l1=-1m1=0n1=0y'l2=-1m2=0n2=0z'l3=-1m3=0n3=0根据弹性对称性质，关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =τxy，τy'z' =τyz，τz'x' =τzxεx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =γxy，γy'z' =γyz，γz'x' =γzx根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。
3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义胡克定理，可得将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。
具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为4、正交各向异性弹性体若物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。
以下根据完全具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
设xz 平面也是弹性对称面，即y 轴也是弹性主方向。
在具有一个弹性对称面的基础上，将y轴绕动z轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,如图所示根据弹性对称性质。
关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =-τxy，τy'z' =-τyz，τz'x' =τzxεx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =-γxy，γy'z' =-γyz，γz'x' =γzx将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。
为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有C15= C25= C35= C64=05、正交各向异性弹性体本构关系这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，如图所示，其弹性常数由13个将减少为9个。
于是其应力应变关系简化为假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，z轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。