高等桥梁结构理论课程讲义薄壁箱梁弯曲理论

x
式中， M x 、 M y 分别为
Mx

M x M y I xy / I y
1

I
2 xy
/(I
x
I
y
)

My

M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I
x
I
y
)

即当已知 M x , M y 时，由（2-12）、（2-13）即可计算出其截面上任意点的正应力。
当 ox 、 oy 轴为主轴时， I xy 0 ，则
M x M x
My

M
y

即
z

Mx Ix
y My Iy
x
上式即为对称截面薄壁梁在纯弯矩荷载作用下的截面正应力计算公式。
（2-10） （2-11） （2-12）
（2-13）
（2-14） （2-15）
6
【算例 2-1】求图 2-4 所示 Z 形截面薄壁杆件在弯矩 M x 作用下的正应力分布。
1 h3
8
（注：根据基本定义进行积分运算。）
根据式（2-12）可得，
z

Mx Ix
y My Iy
x
其中
所以，
Mx

M x M y I xy / I y
1
I
2 xy
/(I x I
y
)
2.29M x
My

M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I x I
y
)
0.86M x
E sin
I xy
（2-4） （2-5） （2-6） （2-7） （2-8）
M y


F z xdF


F
Eyx
cosdF

F
Ex 2
sin dF


E
cos
I xy

E sin
Iy
（2-9）
注：上式中假定 A 点的正应力 z 为压应力。 式中： I x 、 I y 及 I xy 分别为截面绕 ox 、 oy 轴的惯性矩和积惯性矩。
将（2-2）代入（2-4），则
F dF 0
z
E
y cos xsin

Ey cos

Ex sin
由绕 ox 、 oy 轴的力矩平衡方程可得，
M x
F z ydF
Ey 2 cosdF F
F
Exy
sin dF

E cos
Ix


3.435
M h
x 2
腹板下端： x 0， y h 2
z

Mx h3
6.87
y

3.435
M h
x 2
下翼缘板： y h ， 0 x h ，则
2
2
z

Mx h3
(6.87
h 2
10.32x)

Mx h3
(3.435h
10.32x)
故下翼缘左端（ x 0， y h ）正应力为 2

1.725
M h
x 2
上翼缘板右端（ x 0， y h ）正应力为 2
z

Mx h3
(3.435h)

3.435
M h
x 2
在腹板上： x 0， h y h
2
2
z

Mx h3
6.87
y
腹板上端： x 0， y h 2
z

Mx h3
6.87
y
图 2-4 Z 形截面薄壁杆件
图 2-5 Z 形截面薄壁杆件正应力分布
7
【解】： （1）截面几何特征
该截面为反对称，其形心在腹板中点 O，故
（2）正应力计算
Ix
2 h
2


h
2

2
h3
12

1 h3
3
Iy
1 h3
12
I xy
1 h3
16
1 h3
16
中心的横向力的作用下，杆件截面处将可能产生弯矩 M 和剪力 Q ，其中截面上的正应力由弯矩确定，见 式（2-12、2-13），截面剪应力则由剪力 Q 确定。 图 2-6 所示为一薄壁杆件（开口或闭口）微段 dz ， s 为截面轮廓线的曲线坐标，以逆时针方向为正， A 点 为曲线坐标 s 的起点。假设壁厚 (s) 与坐标 z 无关，只是曲线坐标 s 的函数。
2
赤石大桥桥塔断面（示意图）
3
2.2 薄壁箱梁弯曲(初等梁理论)
2.2.1 弯曲正应力
对于薄壁杆件在纯弯曲作用下的弯曲问题，假设平截面假定仍成立。图 2-3 所示为任意截面的薄壁杆
件（开口或闭口截面）， o 为截面形心， o xyz 为过形心的一组任意直角坐标。设沿 ox 、 oy 轴分别有 弯矩 M x 、 M y 作用，以双箭矢量表示。弯矩以符合右手螺旋法则为正。设中性轴为 oo' ，截面上任意点 A 处微截面 dF 的坐标是 x 、 y ，它到中性轴的距离为 ，则
z

Mx h3
(3.435h)

3.435
M h
x 2
下翼缘板右端（ x h ， y h ）正应力为
2
2
z

Mx h3
(3.435h 5.16h)

1.725
M h
x 2
该截面正应力分布见图 2-5。
2.2.2 弯曲剪应力
（一）开口薄壁截面弯曲剪应力
一般而言，横向荷载使薄壁杆件既发生弯曲，又产生扭转，只有当它们的合力通过杆件截面的某一点 时，该杆件仅发生弯曲而不发生扭转，这一特定的点称为截面的剪切中心或弯曲中心。在过杆件截面剪切
ycos xsin
（2-2）
根据平截面假定，A 点处的正应变为
z

1

（2-3）
式中， ——中性层的曲率半径；
——中性轴与 ox 轴的夹角。
图2-3 任意截面的薄壁杆件
4
故 A 点的正应力为
z

E z

E

因为沿 z 轴方向无外力作用，故
F
z dF

0
即
第
工程结构中，薄壁杆件一般是指截面厚度较薄的等截面直杆，其三个 尺度 （图2-1）通常满足下列关系：
图2-1 薄壁杆件
(s) / b 0.1
b / l 0.1 ~ 0.2
工程应用： 1. 桥梁工程，桥塔、
主梁、桥墩等； 2. 高层建筑结构筒体。
z

Mx
h3
(6.87 y 10.32x)
8
上翼缘板： y h ， h x 0 ，则 22
z

Mx
h3
(6.87
h 2
10.32x)

Mx
h3
(3.435h
10.32x)
故上翼缘左端（ x h ， y h ）正应力为
2
2
z

Mx h3
(3.435h 5.16h)
5
联立（2-8）、（2-9），可得
E sin

M x I xy M y I x
IxIy

I
2 xy
E cos

M x I y M y I xy
IxIy

I
2 xy
将（2-10）、（2-11）代入（2-7）中，可得到薄壁杆件截面任意点 A 的正应力为
z

Mx Ix
y My Iy