数值分析第一章学习小结

第1章绪论

--------学习小结

一、本章学习体会

数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践，通过本章的学习，我了解到数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，计算数学的主体部分。我最大的收获是学习到了1、绝对误差与有效数字的关系2、矩阵的1范数，∞范数，F范数的计算。数值分析是一门重视算法和原理的学科，数值分析学习要有很好的思维习惯，重要的是数学思想的建立，让你体会科学的方法与对事物的认识方法。我还学到了要运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

数值分析这门学科有如下特点：

1．面向计算机

2．有可靠的理论分析

3．要有好的计算复杂性

4．要有数值实验

5．要对算法进行误差分析

我认为，要想学好这门课，要做到以下几点：

1.上课认真听讲

2.课后要认真完成作业

3.注重matlab上机实验

4.要多动手编写一些自己的程序

二、本章知识梳理

1.1数值分析研究的对象

数值分析：即计算数学，是数学的一个分支。

数值分析的研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法

及有关理论。

数值分析的内容：函数的数值逼近（代数插值与最佳逼近）、数值积分与数值微分、

非线性方程组的解法、数值线性代数（线性方程组解法与矩阵特征值计算）

、常微分方程及偏微分方程的数值解法。

1.2误差知识与算法知识

1、误差的来源与分类

模型误差观测误差截断误差舍入误差

2、绝对误差、相对误差与有效数字

有效数字位数越多,绝对误差越小.

3、初始值运算的传播误差

4、算法的计算复杂性

好算法的标准：

（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。

（2）有良好的计算复杂性。

时间复杂性：达到给定精度所需计算量。

空间复杂性：所占的内存空间。

5、数值运算中的一些原则

1、要有数值稳定性（即能控制舍入误差的传播）

2、合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止“大数”吃掉“小数”

3、避免两个相近的数相减

4、避免接近于0的数作除数，防止溢出。

5、简化计算步骤，减少运算次数。

1.3 向量范数与矩阵范数

1、向量范数x

y→

x→y

（1）正定性： ，当且仅当x=0时 ; （2）齐次性：对任一数k ∈R,有 ； （3）成立三角不等式 。 ２、常用的向量范数 1-范数（列范数）：∑==n

i i x x 11

2-范数（欧氏范数）：x x x

x T n

i i

==∑=1

2

2

∞-范数（行范数）：i n

i x x ≤≤∞=1max p-范数：p

n

i p

i p x x 11

)(∑==

∞∞

→=x x

p

p lim

3、矩阵范数

1.定义在R 上的实值函数∙称为矩阵范数，如果对于R 中的任意矩阵A 和B ，它满足

（1）0≥A ，当且仅当0=A 时，0=A ； （2）对任意数R k ∈,有A k kA =; （3）B A B A +≤+； （4）AB A B ≤。

A 的P-范数(由向量范数诱导的矩阵范数) 向量范数p x

矩阵范数1

max p p p x A Ax ==且p p p x A Ax ⋅≤

∑=≤≤=n

i ij n

j a A 1

11max A 的列范数

)(max 2A A A T λ= A 的谱范数

∑=≤≤∞=n

j ij n

i a A 1

1max A 的行范数

A 的F-范数（Frobenius ）：

（1）A 的F 范数与向量的2-范数相容，

n n F R A x A Ax ⨯∈∀⋅≤,22

（2）F-范数不从属于任何向量范数。

设矩阵n n R ⨯∈A 的某种范数A <1,则I+A 为非奇异矩阵，并且当该种范数为算子范数时，还有1)(-+A I ≤A

-11

。 三、本章思考题

有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。 答：有效数字位数与计算近似值x 的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。若近似值 x 的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称这一近似数具有 n 位有效数字。而相对误差则与有效数位数基本一致。 三、 本章测验题

已知102521243A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,352x ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

试求：(1,2,)p x p =∞以及1,,F A A A ∞。 解：135210x =++=

2

x==

max(3,5,2)5 x

∞

==

1max(152,024,213)8

A=++++++= max(102,521,243)9 A

∞

=++++++=

F

A==