生活中的优化问题举例PPT优秀课件2

2 36 x
思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大 包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的 白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？
将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与 大包装的利润.
探究（三）：磁盘的最大存储量问题
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示.
思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？
(x + 4)(128 + 2) x
(x+4)(128+2)- 128 x
思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？
Fra Baidu bibliotek
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？ 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
4 pr3 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：
分)是多少？ 0.2? 4pr3 0.8pr2 3
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 则函数f(r)的定义域是什么？（0，6]
思考4：函数
r3 f(r)=0.8p( -
小结作业
1.解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
2.解决优化问题的实质是将实际问题化归 为函数的最值问题来处理，其探究过程是一 个典型的数学建模过程.对目标函数的最值， 要根据函数式的特点，用适当的方法求解， 有时用基本不等式或二次函数图象求最值比 用导数更方便.
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽 度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时 要求所有磁道具有相同的比特数.
R
r
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储
区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的
磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道
数最多可达多少？
R
R - r 最内一条磁道.
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.
3.对优化问题中的函数关系，要注意根据 实际背景确定函数的定义域，如果目标函数 在定义域内只有一个极值点，则这个极值点 一般就是最值点.
例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和 它的速度的立方成正比，已知在速度为每小 时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度 无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种 速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？
1.4生活中的优化问题举例
问题提出
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a，b]上 一定存在最大值和最小值？
函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是
一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)在 区间[a，b]上的最大值和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区 间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值， 最小者为最小值.
20km/h
例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体 容器的框架，如果所制作的容器的底面的一 边比另一边长0.5m，那么当容器的高为多少 时，其容积最大？最大容积为多少？
S(x)=2x+512+8,x>0 x
思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存 在最值？若存在，如何求其最值？
S(x)=2x+512+8,x>0 x
版心高为16dm， 宽为8dm时，
思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四 周空白面积最小？
探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润 的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
mn
理论迁移
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元
的汽车生产线，现要通过技术改造来提
高其生产能力，进而提高产品的增加值.
已知投入x万元用于技术改造，所获得的
产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技
改投入比率
x 60
x

(0,
5]
.求当技改投入
多少万元时，所获得的产品的增加值为
最大？
技改投入40万元
r2)(0<r?6)
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
3.2p f(x)min =f(2)=- 3
f(x)m a x=f(6 )=2 8 .8 p
思考5：函数
r3 f(r)=0.8p( -
r2)(0<r?6)
3
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子
半径的大小对制造商的利润产生什么影
响？
y
当0＜r＜3时，利润为负 值；当r＝3时，利润为 零；当r＞3时，利润为 O 正值，并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大.
m n
如何变化？有何最值？
R
r
r = R 时，存储量最大. 2
思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道
的长度成正比，那么如何计算磁盘的存
储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储
量越大？
R
r
=
m 2
时，存储量最大.
r
f(r)=2pr+2p(r+m)+L+2p(R- m)
n
n
n
= p (R+r- m)(R- r)
r
m
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那
么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2pr
n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特？
R - r ×2pr mn
思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f(r)=2pr(R-r)(0<r<R)