城市垃圾运输问题——数学建模二等奖(附MATLAB程序代码)

五、模型分析
（一）模型的假设
1．假设运输车、铲车数量不受限制。但每个垃圾站点的垃圾只能由一辆运输车 运载。 2．车辆的运行状况和路线都设为理想状态，即始终保持已知条件情况。 3．街道设为理想状态，即行车线路无需考虑街道影响。 4．垃圾设为理想状态，即在运输过程中无新垃圾入站；在垃圾车到达垃圾站时， 垃圾数量已经为题目中给定数量；各垃圾站都能在十分钟内装上运输车。
1.77
10 12 9 1
1.00
1/2
1.50
11 31 6 2
0.85
1/2
1.35
0.00
16.80
6.17
22.97
表格 2
得出运营总费用为：2639.30 其中运输费用是 2807.30 空载费用为 168。程序 见代码 3。
2.在加入铲车后
下面用数学方法证明上一步骤中的条分路径可以模拟成加权点。 令某条分路径上有n个点，分别为（X1，Y1），（X2，Y2）……（Xn，Yn）,这n个 点在路径上依次排列，不妨设X1>X2>X3>……>Xn。 起点为（X0,Y0），终点为（Xn+1,Yn+1）, 起点，终点都在路径外。 设Sk为点（Xk，Yk）到点（Xk+1,Yk+1）的距离，S0为起点（X0,Y0）到（X1，Y1） 的距离，Sn为（Xn，Yn）到终点（Xn+1,Yn+1）的距离。
问题： 1. 运输车应如何调度（需要投入多少台运输车，每台车的调度方案，运 营费用）
2. 铲车应如何调度（需要多少台铲车，每台铲车的行走路线，运营费用） 3. 如果有载重量为 4 吨、6 吨、8 吨三种运输车，又如何调度？
垃圾点地理坐标数据表
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
（四）模型的求解
1.在不考虑铲车的情况下
首先根据题所给的数据画出散点图（点的坐标及编号是按照题目中所给的 坐标和序号进行标注）
城市垃圾运输问题
5
图表 1
由于载物费用仅和各站点到原点的路程有关，且运输车单位路程单位质量的 运费为常数，所以载物费用恒定，zcost=2639.30。程序见代码 1 。
建立目标规划模型，运用计算机随机搜索方法得出了 12 条分路径。利用 MATLAB 画出 12 条路线图。程序见代码 2 。
=[| X0-( X1 +X2+X3+……+Xn)/n|+| Y0-( Y1 +Y2+Y3+……+Yn)/n|]+[| Xn+1-( X1 +X2+X3+……+Xn)/n|+| Yn+1-( Y1 +Y2+Y3+……+Yn)/n|]+[|X1-Xn|+|Y1-Yn|]
又经过计算机数据模拟， |Xn-Xn+1|+|Yn-Yn+1|+X1-Xn+Y1-Yn ≈ [| X0-( X1 +X2+X3+ … … +Xn)/n|+| Y0-( Y1 +Y2+Y3+……+Yn)/n|]+[| Xn+1-( X1 +X2+X3+……+Xn)/n|+| Yn+1-( Y1 +Y2+Y3+…… +Yn)/n|]； 所以，S≈S·。 命题得证。 此重心就称为此路径的加权点。
站点 编号 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10
11 12 13 14 20 16 17 18 19
垃圾 量T 1.50 1.50 0.75 1.20 0.85 1.30 1.20 2.30 1.40 1.80
1.10 2.70 1.80 1.80 0.60 1.50 0.80 1.50 0.90
四、符号含义
|A| |B| |A-B| Ta 装的足够多 Zcost Kcost Allcost 分路径
加权点
表示 A 点到原点的距离，恒正 表示 B 点到原点的距离，恒正 表示 A,B 两点之间的距离,恒正 表示 A 点所在地的垃圾量 运输车当前的载重离限载不大于 0.6 吨(垃圾点的最小垃圾量) 载物费用 空载费用 总费用 在车辆运输过程中，需要在一次内一起完成垃圾运输的点的连线 所构成的路径 由分路径模拟成的可以替代原分路径计算的点
令此路径上的 n 个点的重心为（X,Y）， X=( X1 +X2+X3+……+Xn)/n； Y=( Y1 +Y2+Y3+……+Yn)/n； 起点（X0,Y0）到重心（X，Y）的距离为： Sa=| X0- X |+ |Y0- Y |=| X0-( X1 +X2+X3+……+Xn)/n|+| Y0-( Y1 +Y2+Y3+…… +Yn)/n|； 终点（Xn+1,Yn+1）到重心（X，Y）的距离为： Sb=| Xn+1- X |+ |Yn+1- Y |=| Xn+1-( X1 +X2+X3+……+Xn)/n|+| Yn+1-( Y1 +Y2+Y3+…… +Yn)/n|； 路径长度为： L= |X1-Xn|+|Y1-Yn|； 数学模拟总路径长度为： S·= Sa+ Sb+ L
垃圾 量T 1.40 1.20 1.80 1.40 1.60 1.90 1.00 2.00 1.00 2.10
1.20 1.90 1.30 1.60 1.20 1.50 2.30 1.70 0.00
坐标(km)
x
y
19
9
22
5
21
0
27
9
15
19
15
14
20
17
21
13
24
20
25
16
28
18
5
12
2.铲车路径的规划
铲车调配问题可以转化为图论中的 TSP 问题，先用一辆铲车求解最优路线。 已知 n 个垃圾集中点之间的相互距离，现有一辆铲车必须驶遍这 n 个垃圾集 中点，并且每个垃圾集中点只能访问一次，最后又必须返回出发垃圾集中点。如 何安排他对这些垃圾集中点的行进路线，可使其路线的总长度最短。 用图论的术语来说，假设有一个连同无向图 G=(V,E)，其中 V 是顶点集，E 是边 集，设 D=(dij)是由顶点 i 和顶点 j 之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就 是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路，即最佳 哈密顿圈或 H 圈。 这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意 i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问 题(dij≠dji,,任意 i,j=1,2,3，…,n)。 若对于城市 v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为 t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中 ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记 tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为： min l=σd(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n） 旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个 np 难问题，其可能的 路径数目与垃圾集中点数目 n 是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最 优解，本文采用蚁群算法求其近似解。
S0=| X0-X1|+|Y0-Y1|;
S1=| X1-X2|+|Y1-Y2|;
城市垃圾运输问题
7
S2=| X2-X3|+|Y2-Y3|; ……
Sn-1=| Xn-1-Xn|+|Yn-1-Yn|; Sn=| Xn-Xn+1|+|Yn-Yn+1|； 总距离
S=S0+S1+……+Sn-1+Sn =|X0-X1|+|X1-X2|+| X2-X3|+……+|Xn-1-Xn|+|Xn-Xn+1|+|Y0-Y1|+|Y1-Y2|+|Y2-Y3|+…… +|Yn-1-Yn| +|Yn-Yn+1| =|X0-X1|+X1-X2+X2-X3+ … … +Xn-1-Xn+|Xn-Xn+1|+|Y0-Y1|+Y1-Y2+Y2-Y3+ … … +Yn-1-Yn+|Yn-Yn+1| =|X0-X1|+X1-Xn+|Xn-Xn+1|+|Y0-Y1|+Y1-Yn+|Yn-Yn+1| =|X0-X1|+|Y0-Y1|+|Xn-Xn+1|+|Yn-Yn+1|+X1-Xn+Y1-Yn
图表 2
得出结果后，我们结合实际操作对结果进行分析。发现将 38-1 和 9-12 两条 分路径中 1，2 两点连接，将 12 条线路合并成 11 条分路径，如下图所示
城市垃圾运输问题
6
图表 3
线路
时间 1 时间 2
总时间/小时
1 30 29 27
2.30
1/2
2.80
2 28 26 32 25 3 2.20
魅力数模 美丽师大
浙江师范大学“同梦杯”第八届数学建模 竞赛
自信 创新 合作 快乐
A
B√
论文题目 城市垃圾运输问题 编号 评分
监 制：浙江师范大学数学建模研究会（2009 年 5 月 7 日） （说明：评分一栏为评阅人填写，请参赛者不要填写）
城市垃圾运输问题
一、摘要
通过对垃圾运输问题的具体分析，得出运输车问题应先于铲车问题。运输车 利用目标规划模型，运用计算机随机搜索方法得出了 12 条分路径，考虑实际情 况优化成 11 条分路径 。在铲车问题中将 11 条线路用数学方法模拟成 11 个加权 点，构造恰当的有向或无向赋权图，把问题转化成图论中的 TSP 问题，并利用 蚁群算法解决 TSP 问题,.从而使原问题获得满意的解答。
关键词
垃圾运输问题，目标规划模型，计算机随机搜索算法，蚁群算法，哈密顿圈，图 论中的 TSP 问题（旅行商问题）
城市垃圾运输问题
2
二、问题重述
某城区有 37 个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第 38 号节点）出发将 垃圾运回。现有一种载重 6 吨的运输车。每个垃圾点需要用 10 分钟的时间装车， 运输车平均速度为 40 公里／小时（夜里运输，不考虑塞车现象）；每台车每日平 均工作 4 小时。运输车重载运费 2 元/吨公里；运输车和装垃圾用的铲车空载费 用 0.5 元/公里；并且假定街道方向均平行于坐标轴。请你给出满意的运输调度 方案以及计算程序。
坐标(km)
序号
x
y
3
2
20
1
5
21
5
4
22
4
7
23
0
8
24
3
11
25
7
9
26
9
6
27
10 2
28
14 0
29
17 3
30
14 6
31
12 9
32
10
12
33
7
14
34
2
16
35
6
18
36
11
Байду номын сангаас17
37
15 12
38
表格 1
站点 编号 15 32 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 21 33 34 35 36 37 38
17
16
25
7
9
20
9
15
30
12
8
10
0
0
城市垃圾运输问题
3
三、引言
对于求解 n 个城市的 TSP 问题， 存在（n-1）！条闭合路径的排列方案， 因 此 TSP 问题是一个典型的 NP 完全问题。对于这类问题很难用全局搜索法精确地 求出其最优解，因此研究相应的有效算法寻找其最优或近似最优解具有重要的理 论意义，另外，很多实际实用的问题，如印刷电路板的钻孔路线方案、连锁店的 货物配送路线等经过简化处理后，均可建模为旅行商问题，因此对旅游商问题求 解方法的研究也具有重要的实用价值。目前求解 TSP 问题的主要方法有启发式 搜索法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络算法、二叉树描述算法，蚁群算法 是求解此类 NP 完全问题的一种比较有效的方法。
（二）模型建立及算法的原则
原则 1：运输车最少原则； 原则 2：运费最少原则； 原则 3：运输车优先于铲车原则； 原则 4：运输车先远后进原则； 原则 5：铲车最少原则； 注：以上原则优先级依次降低。
城市垃圾运输问题
4
（三）问题的分析与模型的建立
1.分路径的规划
垃圾运输问题最终可以归结为最优路径搜索问题，根据具体问题设计出计算 机随即搜索法，可以搜寻到令人满意的可行解。
5/6
3.03
3 36 23 33
2.10
1/2
2.60
4 24 18 35 15
1.70
2/3
2.37
5 34 17 16 5
1.45
2/3
2.12
6 20 11 10
1.40
1/2
1.90
7 19 13 8
1.35
1/2
1.85
8 21 22
1.35
1/3
1.68
9 14 37 7 4
1.10
2/3
得出搜索的基本原则： （1）先后顺序并不影响所需的时间。而“先远后近”可以省出车载着 B 点的垃 圾奔到 A 点再返回 B 点即 1.8*|A-B|*2*Tb 这部分的钱，所以在其余同等的情况 下选择“先远后近”。 考虑到时间上单独运输比其余的两种运输要大的多所以一 般情况下，不采用单独运输。 （2）车在装的足够多的情况下应该直接返回原点（38 点）； （3）每一次布局和每条线路的搜索从剩下未搜点中的最大值开始。 （4）在垃圾车的剩余载物量小于垃圾点垃圾量的最小值 0.5 时，由于对于下一 垃圾点(假设为 A 点)内的垃圾而言，无论是一次装完还是分两次装完，将它们运 回所花费用是恒定的，等于 1.8*Ta*，因此|A|车是直接返回 38 点更合理。