第五章_1 虚拟变量模型
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【例5.1.1】考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收入关系是否已发 生变化。
表5.1.1中给出了中国1979－2001年以城乡储蓄存款余额代表的 居民储蓄以及以GNP代表的居民收入的数据。
90年前 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
D1=1，D2=1
薪
金
D1=0，D2=1
D1=1，D2=0
D1=0，D2=0
工龄
（二）乘法方式
• 模型中将虚拟变量以与其它解释变量相乘构成一个新的变量的方 式引入模型 •加法方式引入虚拟变量，可以考察截距的不同，而在许多情况下往 往是斜率就有变化，或斜率、截距同时发生变化。 •斜率的变化可通过以乘法方式引入虚拟变量来测度。
◦ 其取值为具有实际含义的数据 ◦ 可以在建模过程中直接使用这些变量及其数据
定性变量：测度等级名义（nominal）或顺序（ordinal）尺度的变量， 如性别、教育程度等
◦ 其取值为类别或顺序，可用数值表示，但数值不具有实际含义，仅是表示 类别或序次的代码
性别（1－男；0－女）、教育程度（1－小学、2－初中、3－高中、4－大学）
此即所谓的“虚拟变量陷阱”！
1. 虚拟变量的设置原则
对每个定性变量而言，所引入的虚拟变量的个数应该比该变量的类别数 少1，即：如果某个定性变量具有m个类别，则只需在模型中引入（m-1） 个虚拟变量。
例1：定性变量：教育程度E：1－本科；2－硕士；3－博士
虚拟变量：
1
E1
0
硕士 其它
1 博士
第五章 经典单方程计量经济学模型专门问题
§5.1 虚拟变量模型 §5.2 滞后变量模型
§5.1 虚拟变量模型
一、虚拟变量的含义 二、虚拟变量的设置 三、虚拟变量的引入
一、虚拟变量的含义
•一种人为构造的、取值仅为“1”或“0”的变量
1. 定量变量和定性变量
定量变量：测度等级为间距（interval）或比率（ratio）尺度的变量， 如需求量、价格、收入、产量等
• “0”表示不属于该类别或不具备该属性
• 实质上，虚拟变量是定性变量的一种“量化”工具，用以反映观测在定 性变量上所属的类别或所具有的属性。 • 虚拟变量可以类似于定量变量一样直接引入模型，而不丧失模型的合理 性，因此：正确应用定性变量的一种方式是通过设置“虚拟变量”引入定 性变量。 • 由此，包含虚拟变量的模型称之为虚拟变量模型
（3）这一设置原则仅指对于包含截距项的回归模型而言，此时如果违 背这一原则则将陷入所谓的“虚拟变量陷阱”。
• 如果模型不包含截距项，那么即使引入与类别数相同数量的虚 拟变量也不会造成多重共线性。
E1
1 0
硕士 其它
1 博士
E2
0
其它
1 本科
E3
0
其它
Yi 1 X i 2 E1i＋3 E2i 4 E3i i
0
其它
这意味着：对于某个硕士生：E1=1 E2=0 对于某个博士生：E1=0 E2=1 对于某个本科生：E1=0 E2=0
建立如下模型： Yi 0 1 X i 2 E1i＋3 E2i i
于是：对于本科生，其收入为：E（Yi|E 1= 0,E 2= 0） 0 1 Xi 对于硕士生，其收入为：E（Yi|E 1= 1,E 2= 0） 0 1 Xi 2 对于博士生，其收入为：E（Yi|E 1= 1,E 2= 0） 0 1 Xi 3
i=1,2…,n2
则有可能出现下述四种情况中的一种：
(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合回归（Coincident Regressions）；
(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距，称为平行回归 （Parallel Regressions）;
——教育程度的变化对收入的影响是固定不变的，即：教育程度每提升一个 等级，所带来的收入的变动均为β2 ◦ 显然，对于大多数实际情况而言，这种假定存在明显的不合理性
问题：建模过程中如何使用定性变量？
3. 正确应用定性变量的方式
【例】：对于上例，设置如下两个变量：
1 硕士
E1
0
其它
1 博士
E
2
Yi 0 1 X i 2 Di i
假定E(i)=0，则： • 对于女职工（D=0），其平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 0) 0 1 X i
• 对于男职工（D=1），其平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i
• 其差异为：
E (男)－E (女)＝ 2
支出
低于中学教育
收入
＃ 多个定性变量的例子
【例3】：在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量D2
• 模型中的虚拟变量
1 男 D1 0 女
1 本科及以上学历 D2 0 本科以下学历
• 职工薪金的回归模型可设计为：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
注意：参照组是哪一类？
Yi 0 1 Xi 2 E1i＋3 E2i 4 E3i i
【分析】： 假定我们有6个观测值，其中2个硕士、1个博士、3个本科生 考虑模型的设计矩阵X：
1 X1 1 0 0
1
X2
1
0
0
1 X
X3
0
1
0
1 X4 0 0 1
1 1
X5 X6
0 0
0 0
1 1
显然，矩阵X是不满秩的，产生了“完全的多重共线性”！
表 5.1.1
储蓄 281 399.5 523.7 675.4 892.5 1214.7 1622.6 2237.6 3073.3 3801.5 5146.9 7034.2
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元）
GNP
90年后
储蓄
4038.2
1991
9107
4517.8
1992
11545.4
（一）Biblioteka Baidu法方式
• 模型中将虚拟变量以相加的方式引入模型 • 可以直接考察定性变量不同类别的变化对模型因变量的影响 • 本质上，可以考察不同回归模型的截距项是否存在差异
【例1】考虑性别（男、女）、工龄（X）和薪金(Y)的关系。 设置虚拟变量：
D (1 男，0－女） 注意：参照组是什么？
建立如下模型：
大多数研究者认为 ，在一个含有截距的方程中，他们能更容易地处 理他们通常感兴趣的问题，是否有某个组与基准组有所不同以及有 多大不同，所以在方程中包括截距更方便。
——肯尼迪（Kennedy）
三、虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式： 加法方式和乘法方式。
注意不同方式下应用的目的
这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中，从而可用来考察 消费倾向的变化。
假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
◎正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 (1 2 ) X t
◎反常年份：
E(Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
特别地，当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法 与乘法形式的虚拟变量。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水平Y，但在一个较长的 时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年 份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在收入的系数 中引入虚拟变量来考察。
设
1 正常年份 Dt 0 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
E2
0
其它
E1=1 E2=0 E1=0
E2=0 ：硕士 E2=1 ：博士 E2=0 ：本科
例2：
男
定性变量： 性别
女
1 男
虚拟变量：
S
0
女
2. 虚拟变量的设置说明
（1）这一规则适用于模型中包含一个或多个定性变量的情形。即如果模 型存在多个定性变量，则需要设置多组虚拟变量，每组虚拟变量的 个数取决于对应的定性变量所具有的类别数。
※ 教育程度的变动带来的影响分别是β2（本－硕）和（β3－β2）（硕－ 博），模型合理性得到改进！
4. 虚拟变量的含义
• 虚拟变量（dummy variable）：一种人为构造的、取值仅为“1”或 “0”的变量，又称示性变量（indicator variable）。
• “1”表示属于某个类别或具备某种属性
（2）定性变量的分类中，不指定其虚拟变量的类别（组）称为基准组 （base）或参照组（reference）。 • 如上例：本科教育程度组即为基准组或参照组 • 在基准组上，所有对应的虚拟变量的取值均为0 • 实际问题中，基准组或参照组的选择完全取决于研究者。 • 一旦选定基准组，分析中，所有其它组都将与基准组进行比较。
4860.3
1993
14762.4
5301.8
1994
21518.8
5957.4
1995
29662.3
7206.7
1996
38520.8
8989.1
1997
46279.8
10201.4
1998
53407.5
11954.5
1999
59621.8
14922.3
2000
64332.4
16917.8
2001
◎女职工、本科以上学历（D1=0，D2=1）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
◎男职工、本科以上学历（D1=1，D2=1）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) (0 2 3 ) 1 X i
β2表示：在教育水平相同的情况下，性别差异的影响 β3表示：在性别属性相同的情况下，教育水平差异的影响 β2、β3、（β2＋β3）表示了其他组与基准组的差异
73762.4
18598.4
GNP
21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
以Y为储蓄，X为收入，可令：
◎1990年前： Yi=1+2Xi+1i
i=1,2…,n1
◎1990年后： Yi=1+2Xi+2i
※ 问题：如何正确地设置虚拟变量？
二、虚拟变量的设置
• 虚拟变量的个数为定性变量类别数－1 • 注意参照类的设置 • 注意虚拟变量陷阱
＃ 对例题的思考
【思考】：上例中，为什么不用三个虚拟变量表示三种教育程度？
1 硕士
E1
0
其它
1 博士
E
2
0
其它
1 本科
E3
0
其它
相应的模型：
这意味着： 对于某个硕士生：E1=1 E2=0 E3=0 对于某个博士生：E1=0 E2=1 E3=0 对于某个本科生：E1=0 E2=0 E3=1
• 教育程度需要引入两个虚拟变量：
1 高中 D1 0 其他
• 回归模型为：
1 D2 0
大学及其以上 其他
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
注意：参照组是哪一类？
• 在E(i)=0 的初始假定下，不同教育层次的个人保健支出的函数：
◎高中以下： ◎高中：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
• 不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为： ◎女职工、本科以下学历（D1=0，D2=0）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
◎男职工、本科以下学历（D1=1，D2=0）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
• 可以看出，虚拟变量对应的回归系数β2表示：虚拟变量取值为1所代表 的类别（男）相对于参照类别（取值为0，女）在因变量上的平均差异， 反映出定性变量取值的变化对因变量的影响
• 从回归模型上看，两个组上的回归模型的差异主要在于截距的不同
【例2】：在横截面数据基础上，考虑个人收入和教育水平对个人保健 支出的影响，其中教育水平考虑三个层次：高中以下、高中、 大学及其以上
◦ 实际建模中，考虑定性变量的影响是必要的，但直接使用定性变量的取值 则具有不合理性
2. 直接使用定性变量的不合理性
【例】：考虑教育程度（E）、工龄（X）和收入（Y）的关系。
Yi 0 1 X i 2 Ei i
其中：E：1－本科；2－硕士；3－博士
◦ 模型中系数 β2 的经济意义是什么？ ◦ 注意到 β2 是一个常数，这意味着什么？
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
◎大学及其以上： E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
• 2表示：高中组与高中以下组在平均支出上的差异；
3表示：大学组与高中以下组在平均支出上的差异；
大学教育
保健
高中教育
表5.1.1中给出了中国1979－2001年以城乡储蓄存款余额代表的 居民储蓄以及以GNP代表的居民收入的数据。
90年前 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
D1=1，D2=1
薪
金
D1=0，D2=1
D1=1，D2=0
D1=0，D2=0
工龄
（二）乘法方式
• 模型中将虚拟变量以与其它解释变量相乘构成一个新的变量的方 式引入模型 •加法方式引入虚拟变量，可以考察截距的不同，而在许多情况下往 往是斜率就有变化，或斜率、截距同时发生变化。 •斜率的变化可通过以乘法方式引入虚拟变量来测度。
◦ 其取值为具有实际含义的数据 ◦ 可以在建模过程中直接使用这些变量及其数据
定性变量：测度等级名义（nominal）或顺序（ordinal）尺度的变量， 如性别、教育程度等
◦ 其取值为类别或顺序，可用数值表示，但数值不具有实际含义，仅是表示 类别或序次的代码
性别（1－男；0－女）、教育程度（1－小学、2－初中、3－高中、4－大学）
此即所谓的“虚拟变量陷阱”！
1. 虚拟变量的设置原则
对每个定性变量而言，所引入的虚拟变量的个数应该比该变量的类别数 少1，即：如果某个定性变量具有m个类别，则只需在模型中引入（m-1） 个虚拟变量。
例1：定性变量：教育程度E：1－本科；2－硕士；3－博士
虚拟变量：
1
E1
0
硕士 其它
1 博士
第五章 经典单方程计量经济学模型专门问题
§5.1 虚拟变量模型 §5.2 滞后变量模型
§5.1 虚拟变量模型
一、虚拟变量的含义 二、虚拟变量的设置 三、虚拟变量的引入
一、虚拟变量的含义
•一种人为构造的、取值仅为“1”或“0”的变量
1. 定量变量和定性变量
定量变量：测度等级为间距（interval）或比率（ratio）尺度的变量， 如需求量、价格、收入、产量等
• “0”表示不属于该类别或不具备该属性
• 实质上，虚拟变量是定性变量的一种“量化”工具，用以反映观测在定 性变量上所属的类别或所具有的属性。 • 虚拟变量可以类似于定量变量一样直接引入模型，而不丧失模型的合理 性，因此：正确应用定性变量的一种方式是通过设置“虚拟变量”引入定 性变量。 • 由此，包含虚拟变量的模型称之为虚拟变量模型
（3）这一设置原则仅指对于包含截距项的回归模型而言，此时如果违 背这一原则则将陷入所谓的“虚拟变量陷阱”。
• 如果模型不包含截距项，那么即使引入与类别数相同数量的虚 拟变量也不会造成多重共线性。
E1
1 0
硕士 其它
1 博士
E2
0
其它
1 本科
E3
0
其它
Yi 1 X i 2 E1i＋3 E2i 4 E3i i
0
其它
这意味着：对于某个硕士生：E1=1 E2=0 对于某个博士生：E1=0 E2=1 对于某个本科生：E1=0 E2=0
建立如下模型： Yi 0 1 X i 2 E1i＋3 E2i i
于是：对于本科生，其收入为：E（Yi|E 1= 0,E 2= 0） 0 1 Xi 对于硕士生，其收入为：E（Yi|E 1= 1,E 2= 0） 0 1 Xi 2 对于博士生，其收入为：E（Yi|E 1= 1,E 2= 0） 0 1 Xi 3
i=1,2…,n2
则有可能出现下述四种情况中的一种：
(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合回归（Coincident Regressions）；
(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距，称为平行回归 （Parallel Regressions）;
——教育程度的变化对收入的影响是固定不变的，即：教育程度每提升一个 等级，所带来的收入的变动均为β2 ◦ 显然，对于大多数实际情况而言，这种假定存在明显的不合理性
问题：建模过程中如何使用定性变量？
3. 正确应用定性变量的方式
【例】：对于上例，设置如下两个变量：
1 硕士
E1
0
其它
1 博士
E
2
Yi 0 1 X i 2 Di i
假定E(i)=0，则： • 对于女职工（D=0），其平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 0) 0 1 X i
• 对于男职工（D=1），其平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i
• 其差异为：
E (男)－E (女)＝ 2
支出
低于中学教育
收入
＃ 多个定性变量的例子
【例3】：在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量D2
• 模型中的虚拟变量
1 男 D1 0 女
1 本科及以上学历 D2 0 本科以下学历
• 职工薪金的回归模型可设计为：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
注意：参照组是哪一类？
Yi 0 1 Xi 2 E1i＋3 E2i 4 E3i i
【分析】： 假定我们有6个观测值，其中2个硕士、1个博士、3个本科生 考虑模型的设计矩阵X：
1 X1 1 0 0
1
X2
1
0
0
1 X
X3
0
1
0
1 X4 0 0 1
1 1
X5 X6
0 0
0 0
1 1
显然，矩阵X是不满秩的，产生了“完全的多重共线性”！
表 5.1.1
储蓄 281 399.5 523.7 675.4 892.5 1214.7 1622.6 2237.6 3073.3 3801.5 5146.9 7034.2
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元）
GNP
90年后
储蓄
4038.2
1991
9107
4517.8
1992
11545.4
（一）Biblioteka Baidu法方式
• 模型中将虚拟变量以相加的方式引入模型 • 可以直接考察定性变量不同类别的变化对模型因变量的影响 • 本质上，可以考察不同回归模型的截距项是否存在差异
【例1】考虑性别（男、女）、工龄（X）和薪金(Y)的关系。 设置虚拟变量：
D (1 男，0－女） 注意：参照组是什么？
建立如下模型：
大多数研究者认为 ，在一个含有截距的方程中，他们能更容易地处 理他们通常感兴趣的问题，是否有某个组与基准组有所不同以及有 多大不同，所以在方程中包括截距更方便。
——肯尼迪（Kennedy）
三、虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式： 加法方式和乘法方式。
注意不同方式下应用的目的
这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中，从而可用来考察 消费倾向的变化。
假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
◎正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 (1 2 ) X t
◎反常年份：
E(Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
特别地，当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法 与乘法形式的虚拟变量。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水平Y，但在一个较长的 时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年 份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在收入的系数 中引入虚拟变量来考察。
设
1 正常年份 Dt 0 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
E2
0
其它
E1=1 E2=0 E1=0
E2=0 ：硕士 E2=1 ：博士 E2=0 ：本科
例2：
男
定性变量： 性别
女
1 男
虚拟变量：
S
0
女
2. 虚拟变量的设置说明
（1）这一规则适用于模型中包含一个或多个定性变量的情形。即如果模 型存在多个定性变量，则需要设置多组虚拟变量，每组虚拟变量的 个数取决于对应的定性变量所具有的类别数。
※ 教育程度的变动带来的影响分别是β2（本－硕）和（β3－β2）（硕－ 博），模型合理性得到改进！
4. 虚拟变量的含义
• 虚拟变量（dummy variable）：一种人为构造的、取值仅为“1”或 “0”的变量，又称示性变量（indicator variable）。
• “1”表示属于某个类别或具备某种属性
（2）定性变量的分类中，不指定其虚拟变量的类别（组）称为基准组 （base）或参照组（reference）。 • 如上例：本科教育程度组即为基准组或参照组 • 在基准组上，所有对应的虚拟变量的取值均为0 • 实际问题中，基准组或参照组的选择完全取决于研究者。 • 一旦选定基准组，分析中，所有其它组都将与基准组进行比较。
4860.3
1993
14762.4
5301.8
1994
21518.8
5957.4
1995
29662.3
7206.7
1996
38520.8
8989.1
1997
46279.8
10201.4
1998
53407.5
11954.5
1999
59621.8
14922.3
2000
64332.4
16917.8
2001
◎女职工、本科以上学历（D1=0，D2=1）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
◎男职工、本科以上学历（D1=1，D2=1）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) (0 2 3 ) 1 X i
β2表示：在教育水平相同的情况下，性别差异的影响 β3表示：在性别属性相同的情况下，教育水平差异的影响 β2、β3、（β2＋β3）表示了其他组与基准组的差异
73762.4
18598.4
GNP
21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
以Y为储蓄，X为收入，可令：
◎1990年前： Yi=1+2Xi+1i
i=1,2…,n1
◎1990年后： Yi=1+2Xi+2i
※ 问题：如何正确地设置虚拟变量？
二、虚拟变量的设置
• 虚拟变量的个数为定性变量类别数－1 • 注意参照类的设置 • 注意虚拟变量陷阱
＃ 对例题的思考
【思考】：上例中，为什么不用三个虚拟变量表示三种教育程度？
1 硕士
E1
0
其它
1 博士
E
2
0
其它
1 本科
E3
0
其它
相应的模型：
这意味着： 对于某个硕士生：E1=1 E2=0 E3=0 对于某个博士生：E1=0 E2=1 E3=0 对于某个本科生：E1=0 E2=0 E3=1
• 教育程度需要引入两个虚拟变量：
1 高中 D1 0 其他
• 回归模型为：
1 D2 0
大学及其以上 其他
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
注意：参照组是哪一类？
• 在E(i)=0 的初始假定下，不同教育层次的个人保健支出的函数：
◎高中以下： ◎高中：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
• 不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为： ◎女职工、本科以下学历（D1=0，D2=0）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
◎男职工、本科以下学历（D1=1，D2=0）的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
• 可以看出，虚拟变量对应的回归系数β2表示：虚拟变量取值为1所代表 的类别（男）相对于参照类别（取值为0，女）在因变量上的平均差异， 反映出定性变量取值的变化对因变量的影响
• 从回归模型上看，两个组上的回归模型的差异主要在于截距的不同
【例2】：在横截面数据基础上，考虑个人收入和教育水平对个人保健 支出的影响，其中教育水平考虑三个层次：高中以下、高中、 大学及其以上
◦ 实际建模中，考虑定性变量的影响是必要的，但直接使用定性变量的取值 则具有不合理性
2. 直接使用定性变量的不合理性
【例】：考虑教育程度（E）、工龄（X）和收入（Y）的关系。
Yi 0 1 X i 2 Ei i
其中：E：1－本科；2－硕士；3－博士
◦ 模型中系数 β2 的经济意义是什么？ ◦ 注意到 β2 是一个常数，这意味着什么？
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
◎大学及其以上： E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
• 2表示：高中组与高中以下组在平均支出上的差异；
3表示：大学组与高中以下组在平均支出上的差异；
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