极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已

知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交

于M，N两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．

解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．

（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），

代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，

则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．

2．（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．

（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．

解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．

（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．

由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．

3．（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．

（I）求直线l和C的普通方程；

（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．

解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．

（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），

代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，

则：||PA|﹣|PB||=，=．

4．（2018•内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B 两点．

（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．

解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．

∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）

∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）

（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，

∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）

∴===3．…（10分）

5．（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；

（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．

解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，

直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．

（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则

，

=

因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．

6．（2018•武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．

（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，

即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．

（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，

由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，，

∴=

=．

∵，cos2α∈（0，1]，，

当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．

7．（2018•洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）

（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，

即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．

∴|AB|=|t1﹣t2|==2．

∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．

即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）

8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．

直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1

整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，

由于（1，2）为中点坐标，

①当直线的斜率不存时，x=1．