少儿数学竞赛初赛试题详解

少儿数学竞赛初赛试题详解

一、填空题

1、++4=

解析：这是一个典型的等比数列求和。运用“借来还去”法。

原式=（++）+（2+4+8+16+32+64）

=（+++- ）+（2+2+4+8+16+32+64-2）=（1 -）+（128 - 2）

=126

答案：126

2、

解析：这题看起来复杂，其实只要按部就班求倒数就可以。

答案：2

3、唐僧师徒吃馒头，唐僧和猪八戒一共吃了总数的1/2，唐僧和沙和尚一共吃了总数的1/3，唐僧和孙悟空一共吃了总数的1/4，那么唐僧吃了总数的。

解析：这道题是基本的分数问题。

设唐僧，猪八戒，沙和尚，孙悟空4人所吃的馒头分别为总量的a，b，c，d。则有：a+b=1/2. a+c=1/3. a+d=1/4. 这三个式子加起来就是

3a+b+c+d = 1/2+1/3+1/4 = 13/12. 因为我们知道4人吃的馒头加起来就是总的馒头。这样有a+b+c+d=1. 两式相减得到2a=1/12. a=1/24.

答案：1/24.

4、把浓度为95%的酒精600克稀释为浓度为75%的医用酒精，需加入克的蒸馏水。解析：这道题是经典的浓度问题。用十字交叉法就可以解。

75:20=15:4.也就是说95%的酒精与纯水的比例应该是15:4.我们设加入水x克，有600：x=15:4，得到x=160.

答案：160

5、自然数a、b满足1/a-1/b=1/182， a ：b=7 ：13 则a+b=

解析：基本比例问题与方程相结合。

因为a:b=7:13，所以设a=7x，b=13x。

得到- ====。可以解出x=12. a+b=20x=20x12=240.

答案：240

6、480的正约数有个。

解析：求正约数的个数，基本的数论问题。直接运用公式。

480=x5=。所以正约数个数是（5+1）x（1+1）x（1+1）=24.

答案：24

7、把长、宽、高分别是30、20、10的钢块，熔铸成底面直径是20的圆柱，这个圆柱的高是（保留两位小数，π≈3.14）。

解析：体积问题，整个过程铜的体积不变。

设圆柱体的高为h有30x20x10=πhx。解出x=19.11（π取3.14，保留两位小数）

答案：19.11

8、六年级三个班共订了25种杂志，一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的杂志有10种，二班和三班相同的杂志有5种，一班和三班相同的杂志有6种，三个班都订的杂志有种。

解析：容斥原理。直接运用公式。

设3个班都订的杂志有x种，有

25=15+16+14-10-5-6+x。解出x=1

答案：1

9、310被一个两位数除，余数是37，这个两位是

解析：数论中的带余除法。

设这个数为x，310除以x余37，那么310-37=273应该正好被x整除。也就是说，x是273的约数。273=3x7x13。又因为x>37，所以x=3x13=39或者x=7x13=91.

答案：39或91.

10、某人1997年的年龄正好是他出生年份各个数位上的和，他的出生份是年。解析：数论中位值原理和不定方程的应用。

设这个人19xy年出生，他今年是1997-19xy。另一方面，他的年龄等于出生年份各个数位上的和1+9+x+y=10+x+y。

得到1997-19xy=10+x+y。又因为19xy=1900+10x+y，化简得到97-10x-y=10+x+y。所以我们得到不定方程11x+2y=87。

这个不定方程的解法很多，这里讲两种：

（1）试，x最大为9。当x=9，无解；x=8，无解；x=7，y=5，满足。

（2）（通法）对11x+2y这个方程两边同时考虑除以11所得到的余数，左边11x是11的倍数，所以左边除以11的余数就是2y除以11的余数。右边除以11的余数是10。

也就是说左边2y除以11所得到的余数是10。那么显然y=5时候，2y=10满足，此时x=7. 答案：1975

11、一条线段对折4次，从中间剪一刀，可以得到条线段。

解析：这是一道找规律的题。

一般一根绳子，如果有1个断口，就会剪成2段；有2个断口，就会剪成3段；…有n个断口，就会剪成n+1段，所以只要考虑断口的数目就可以。

折1次，剪一刀会有2个断口；折2次，会有；…折n次，就会有个断口。所以折4次会有=16个断口，也就是17段。

答案：17

12、三角型ABC是等腰直角三角型，角C=90°，直角边的长度是1，把这个三角型顺时针旋转90°，AB扫过的面积是（保留两位小数，π≈3.14）。

解析：这题主要考察曲线型面积，难度在于判断AB扫过的到底是哪个部分。

如图，扫过的是阴影部分。

计算方法是用最大半圆减去I，II两个三角形和III扇形的面积。

面积=1/2。求=π。难度在于r用小学的知识无法求出。

但是不要急，我们看在I三角形，这是一个等腰直角三角形，直角边长度是r，斜边长1，根据勾股定理：有+=1，于是=1/2。这样=π/8。

阴影部分面积=πx/2-1/2-π/8=3π/8=0.68（π取3.14，保留两位小数）

答案：0.68

二、应用题

13、王老师去购买课桌椅，打算购买240套，每套定价80元，王老师对厂长说：“你每套降价1元，我就多买10套。”厂长想了想，如果降价10%，所得的利润和原来的一样，于是答应了王老师的要求，请问每套课桌椅的成本是多少？

解析：简单的分数应用题与方程结合。