连续动态系统

第三章 连续动态系统

讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程—状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。例，离散与连续的形象解释。

1．连续动态系统的数学描述

在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。

1.1 线性动态系统

用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次性（常数项直接提取到函数外）。例，判断ax y =与b ax y +=是否属于线性操作。

线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即

n n x a x a x 11111++='

n nn x n n x a x a x ++=' 1 矩阵形式：AX X =' 据ij a 的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。

1.2 非线性动态方程

如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。线性函数本质上只有一种，即： ax y =

不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。 非线性连续系统的动力学方程一般形式如下：

),,;,,(1111m n c c x x f x ='

),,;,,(1122m n c c x x f x ='

),,;,,(11m n n n c c x x f x ='

矩阵形式：),(C X F X ='

n f f ,,1 中至少应有一个为非线性。),,(1n x x 称为状态变量，),,(1m c c 称为控制参量。

动力学方程是动力学中的术语，在系统科学中，通常称为演化方程。据演化方程对系统分类，系统

分为线性与非线性、自由与强迫系统（是否包含外来作用，)(),(t C X F X ψ+='）、自治与非自治系

统（是否明显包含时间变量，),,(t C X F X ='）。非自治系统的两个特例，一是变系数系统，二是强迫

系统。强迫系统、非自治系统分别可以转化自由系统、自治系统，所以为本章主要讨论自由、自治系统。 有了演化方程，有三种方法研究非线性系统的行为特性：

① 解析方法

一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例)(x f 具有适当形式时，用分离变量法获得解析方程。

② 几何方法

分析系统的定性性质，从方程结构和参数中直接提取系统的定性信息。

③ 数值计算方法

使用计算机进行数值计算，求得方程的近似解。例，有关混沌动力学的几个重大发现，都是通过计算机实验得到的。

3）系统科学是关于非线性的科学，但线性系统理论仍是系统科学中不可忽视的内容？

这不仅因为线性理论的成熟和体系化，还在于线性理论是非线性理论必要的基础性知识准备，例构造非线性方程的解往往要利用线性方程的解，并且非线性可做到线性化处理：

① 非线性因素微弱，允许忽略不计，演化方程近似满足叠加原理；

② 非线性系统的局部线性化处理，关心系统的局部性质，非线性模型又满足连续性和光滑性要求。 线性化的实质是忽略非线性因素，而非线性因素正是系统产生多样性、奇异性和复杂性的根源，线性化所“化”掉的恰好是这种根源。

2．轨道、暂态、定态

线性动态系统只要求出方程的解析解，从给定的初始条件出发，既可预见系统的一切未来状态，也能回溯过去的所有状态，达到对系统行为特性的全面而定量的把握。但非线性动力学方程能够获得解析解的情形极少，求解析解不是处理非线性系统的普适方法，对于一般非线性系统，可行的方法是定性描述，即在状态空间和参量空间中用几何方法等定性手段来研究。

2.1 状态空间、参量空间

由系统所有状态构成的集合，称为系统的状态空间又称相空间。设系统有n 个独立状态变量，记做n x x x ,,,21 ，以状态变量为轴支撑起来的几何空间，就是系统的状态空间，每一组具体的数值),,,(21n x x x 代表系统的一个具体状态或相，n 是状态空间的维数，n 可以取任何正整数，例3,2,1=n ，其状态空间可以画出来，4维以上的属于抽象空间，n 是决定系统行为特性的重要参数。

状态空间是在控制参量（常数项）给定的条件下建立的，但控制参量也是可变的。以控制参量m c c c ,,,21 为轴构造的m 维空间称为参量空间。参量空间的每个点都对应一个确定的系统，所以在参

量空间研究的是演化方程结构相同的无穷多系统构成的系统族，例c x y +=2或

c x x y ++=322。 2.2 轨道

演化方程的每个解代表状态空间的一个点集合，称为一条相轨道。状态在相空间沿轨道运动可以形象地比喻为物理空间的水流，一个解就是一个流。演化方程的解无穷多，空间的轨道亦无穷多。状态空间不是分别研究每个轨道，而是考察全部可能轨道及其分布，从而达到整体把握系统的动态特性。

2.3 暂态、定态

状态空间包含系统的所有可能状态，有关系统动态特性的所有信息都蕴藏于其中，如何提取这些信息，虽然状态空间有无穷多个状态，但在系统学意义上可以划分为很少的几类，它们显示不同性质，代表系统不同动力学行为特性，所以在状态空间研究系统归结为划分不同类型的状态，动态系统有两类可能的状态。

① 暂态

系统在某个时刻可能到达但不借助外力就不能保持或不能回归的状态；

② 定态

系统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态。

状态空间几乎全是由暂态点填充的，定态只是其中极其微小的一部分，例：图3-1