全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角中的秘密(课堂

1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密

一：引经据典，步入新课

师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。

什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。

今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。

大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。

那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。

二：复习回顾，总结已知

师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。

学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。

贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。用今

天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合

数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：

这对我们今天的研究非常重要。

师：还有吗？

学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。

师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。 还有吗？

学生1：没了。

师：那我请你的同桌来补充一下。

学生2：杨辉三角每一行数字之和是2的n 次。

师：很好，杨辉三角每一行之和为2的n 次用组合数来表示就是：

n n n n n r n n n n C C C C C C 2......1210=+++++-

学生2：并且杨辉三角是左右对称的：r n n r n C C -=

师：以上几个性质，是我们已经知道的。接下来我们就要研究一下杨辉三角的其他性质了。

三：小组合作，共探新知

生3:我们组发现：3+1+6+4+1=15,4+6+5+10+10=35，将梯形中5个数相加就是下面隔行的数。

师：你们是如何发现的呢？

生3:根据我们所学杨辉三角的每一个数都是上面两个数之和，那么是不是可以进一步向上推导，比如15=10+5=（6+4）+（4+1）=6+4+1+（3+1），就得到了这个结论。

师：从原有的性质中挖掘出新的内容，非常好！当然，如果我们能用组合数来表示这个结

论更好。以刚才的结论为例464434243323C C C C C C =++++

写成一般情形23211111++++++++=++++r n r n r n r n r n r n C C C C C C

第二组:

生4：我们组发现： 1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

每一斜行前n 个数加起来都是下面一行的第n 个数。

师：你们是如何发现这个结论的？

生4：我们是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些结论？

师：你能用组合数来表示么？简单点，第二斜行相加用组合数来表示一下。

生4：21114131211...n n C C C C C C =++++-

师：那么推导到一般情形呢？

生4: )

(1121r n C C C C C r n r n r r r r r r >=+++++-++Λ

师：非常好！

第三组:

生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话，每一行都是11的次数。

第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我们验算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我们猜测将杨辉三角第n 行数字依次写下来是11的n-1次。

师：11的1次为11，11的2次121， 11的3次1331好像确实是这样。

那么我们一起来帮他们验算一下11的4次？

生：14641

师：那么11的5次是多少呢？我们来一起算一下。

生：11的5次为161051。

师：太可惜了，这是一个多么美好的结论啊，问题出在哪儿呢？我们一起来看一下，同学们，我们11的4次是如何计算的啊？总不会是11×11×11×11得到的吧？

很显然不是，我们是通过1331×11计算得到的。从这里我们会发现，14641其实是两个1331错位相加得到的。那么11的5次是不是也是由两个14641错位相加得到？而在这个过程中，出现了一个问题，大家发现了没有？

生：进位了！

师：非常好，这里产生了进位，于是就出现了问题。所以我们是不是只需要把这个结论改一改，将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。

第四组：

生6:既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？通过计算，第二行的平方和为2，第三行的平方和为6，第四行的平方和为20，这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。

师：能用组合数来表示吗？

生6：n n n n n n C C C C 222120)(...)()(=+++