导数题的解题技巧

导数题的解题技巧

模块一，导数

命题趋势：

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

1．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

题型一 导数的概念

例1．（2007年北京卷）()f x '是31()213f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是

( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

题型二 曲线的切线

关于曲线在某一点的切线: 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

例3（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

例4． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2

-4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( ) =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =3

1x [考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.

例5。处的切线方程在点求曲线)2

1,6(sin πA x y =

提醒三 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应

高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式.

例6．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

例7 .（2007年全国一）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2

()f x c <成立，求c 的取值范围．

思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．

例8.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

**已知函数的单调性，逆向确定函数式中特定字母的值或范围.

例9 (2000年全国) 设函数)(x f =,12ax x -+其中,0>a 求a 的取值范围,使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数.

** 利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题

例10 （2008年安徽）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

（Ⅱ）已知不等式

'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

题型四 导数的实际应用

建立函数模型,利用倒数解题

例11. （2007年重庆文）

用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

例12．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

3138(0120).12800080

y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升

（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.