2018年高考数学(理)考试大纲解读 导数及其应用

2018年考试大纲解读 函数的概念与基本初等函数 考纲原文

（十七）导数及其应用

1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），23

1,,,,y x y x y x y y x =====的导

数.

（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +b )的复合函数）的导数. •常见基本初等函数的导数公式：

•常用的导数运算法则： 法则1:

法则2:

法则3:

3．导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 4．生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题. 5．定积分与微积分基本定理

（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.

名师解读

与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.

样题展示考向一 利用导数研究函数的单调性

样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

考向二 利用导数研究函数的极值问题

样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则

()f x 的极小值为

A ．1-

B ．32e --

C ．35e -

D ．1

【答案】A

【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-， 令()0f x '>，解得2x <-或1x >，

所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．

【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，

且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 样题3（2017新课标全国Ⅱ理科）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．

（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--．

设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x

=-．

当1(0,)2x ∈时，()0h'x <；当1

(,)2

x ∈+∞时，()0h'x >，

所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1

(,)2+∞上单调递增．

又()2e 0h ->，1

()02h <，()10h =，

所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1

[,)2

+∞有唯一零点1，

且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <；当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．

由()00,1x ∈得()014

f x <

． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点， 由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=． 所以()220e 2f x --<<．

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．

考向三 导数与不等式恒成立问题

样题 4 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-.若不等式

2(4)(2)f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是

A ．(,-∞

B ．(

C ．(,0))-∞+∞

D ．(,)-∞+∞ 【答案】A

先求出0x ≥时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出()f x 在R