带电粒子在磁场中的运动归纳总结之题目汇编——带答案

带电粒子在磁场中运动题型小结

一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题

找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

二、带电粒子在有界磁场中的运动

有界匀强磁场指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场区域内经历一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧后离开磁场区域．由于运动的带电粒子垂直磁场方向，

从磁场边界进入磁场的方向不同，或磁场区

域边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨

道各不相同．如下面几种常见情景：

解决这一类问题时，找到粒子在磁场中

一段圆弧运动对应的圆心位置、半径大小以

及与半径相关的几何关系是解题的关键．

1．三个(圆心、半径、时间)关键确定：研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，常考虑的几个问题：

(1)圆心的确定：已知带电粒子在圆周中两点的速度方向时(一般是射入点和射出点)，沿洛伦兹力方向画出两条速度的垂线，这两条垂线相交于一点，该点即为圆心．(弦的垂直平分线过圆心也常用到)

(2)半径的确定：一般应用几何知识来确定．

(3)运动时间：t＝θ

360°T＝φ

2πT(

θ、φ为圆周运动的圆心角)，另外也可用弧长Δl与速率的比值来表示，即t＝Δl/v.

(4)粒子在磁场中运动的角度关系：

粒子的速度偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt；相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ′＋θ

＝180°.

2．两类典型问题

(1)极值问题：常借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值．注意①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

②当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．

③当速率v变化时，圆周角大的，运动时间长．

(2)多解问题：多解形成的原因一般包含以下几个方面：

①粒子电性不确定②磁场方向不确定；③临界状态不唯一；④粒子运动的往复性等

关键点：①审题要细心．②重视粒子运动的情景分析．

三、带电粒子在复合场中的运动

复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在的某一空间．粒子经过该空间时可能受到的力有重力、静电力和洛伦兹力．处理带电粒子(带电体)在复合场中运动问题的方法：

1．正确分析带电粒子(带电体)的受力特征．带电粒子(带电体)在复合场中做什么运动，取决于其所受的合外力及其初始速度．带电粒子(带电体)在磁场中所受的洛伦兹力还会随速度的变化而变化，而洛伦兹力的变化可能会引起带电粒子(带电体)所受的其他力的变化，因此应把带电粒子(带电体)的运动情况和受力情况结合起来分析，注意分析带电粒子(带电体)的受力和运动的相互关系，通过正确的受力分析和运动情况分析，明确带电粒子(带电体)的运动过程和运动性质，选择恰当的运动规律解决问题．

2．灵活选用力学规律

(1)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速运动时，就根据平衡条件列方程求解．

(2)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解．

(3)当带电粒子(带电体)在复合场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．

(4)由于带电粒子(带电体)在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据隐含条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．

(5)若匀强电场和匀强磁场是分开的独立的区域，则带电粒子在其中运动时，分别遵守在电场和磁场中运动规律，处理这类问题的时候要注意分阶段求解.

一、“磁偏转”与“电偏转”的区别（复合场问题，不叠加）

例1如图1所示，在空间存在一个变化的匀强电场和另一个变化的匀强磁场．从t ＝1 s开始，在A点每隔2 s有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方

向(垂直于BC)以速度v0射出，恰好能击中C点．AB＝BC＝l，且粒子在

点A、C间的运动时间小于1 s．电场的方向水平向右，场强变化规律

如图2甲所示；磁感应强度变化规律如图乙所示，方向垂直于纸面．求：

(1)磁场方向；(2)E0和B0的比值；

(3)t＝1 s射出的粒子和t＝3 s射出的粒

子由A点运动到C点所经历的时间t1和t2

之比．

A变式训练1图3所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场

强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直

xOy平面向外．一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经

过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经

过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计粒子重力．求：

(1)电场强度的大小；(2)粒子到达P2时速度的大小和方向；

(3)磁感应强度的大小．

二、有界匀强磁场问题

例2 半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不

计重力)从A 点以速度v 0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出．∠AOB ＝120°，如图5所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )

A .2πr 3v 0

B .23πr 3v 0

C .πr 3v 0

D . 3πr 3v 0

图5 图6 图7 图8 图

9

变式训练2 图6是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R ＝10 cm 的圆柱形

筒内有B ＝1×10－

4 T 的匀强磁场，方向平行于圆筒的轴线．在圆柱形筒上某一直径两端

开有小孔a 、b ，分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷q m ＝2×1011 C /kg 的正离子，以

不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v 的大小是( )

A ．4×105 m/s

B ．2×105 m/s

C ．4×106 m/s

D ．2×106 m/s

三、洛伦兹力作用下形成多解的问题

A 例3 如图7所示，长为L 的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强

度为B ，板间距离为L ，极板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v 水平入射．欲使粒子不打在极板上，可采用

的办法是( ) A ．使粒子速度v ＜BqL 4m B ．使粒子速度v ＞5BqL 4m

C ．使粒子速度v ＞BqL 4m

D ．使粒子速度BqL 4m ＜v ＜5BqL 4m

变式训练3 如图8所示，左右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁

感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )

A.Bqd m

B.2＋2Bqd m

C.2－2Bqd m

D.2Bqd 2m

【即学即练】

1. 三个完全相同的小球a 、b 、c 带有相同电量的正电荷，从同一高度由静止开始下

落，当落下h 1高度后a 球进入水平向左的匀强电场，b 球进入垂直纸面向里的匀强磁场，如图9所示，它们到达水平面上的速度大小分别用v a 、v b 、v c 表示，它们的关系是( )

A ．v a >v b ＝v c

B ．v a ＝v b ＝v c

C ．v a >v b >v c

D ．v a ＝v b >v c

2．设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图10所示，已

知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A 点沿曲

线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点是运动的最低点，忽略

重力，以下说法正确的是( )

A ．离子必带正电荷

B ．A 点和B 点位于同一高度

C ．离子在C 点时速度最大

D ．离子到达B 点时，将沿原曲线返回A 点

3．如图所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电

场．一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O 点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O ′点(图中未标出)穿出．若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O 点射入，从区域右边界穿出，则

粒子b()

A．穿出位置一定在O′点下方

B．穿出位置一定在O′点上方

C．运动时，在电场中的电势能一定减小

D．在电场中运动时，动能一定减小

4．如图是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场

加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和

匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P

和记录粒子位置的胶片A1、A2.平板S下方有磁感应强度为B0的

匀强磁场．下列表述正确的是()

A．质谱仪是分析同位素的重要工具

B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外

C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B

D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子荷质比越小

四、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半

径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且

B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v

沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又

经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

五、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字

（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、

带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁

场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏

发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值

之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0

的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的

时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为

7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

六、带电粒子在有界磁场中的极值问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大

弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

例题：有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

七、带电粒子在复合场中运动问题

复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。

（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸

面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是

x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的

带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，

继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方

向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；

（2）磁感应强度的大小B。

八、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。

例题：在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁

感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿

半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且

与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周

后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？

练习

1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）

A．B．C．D．

2．（07宁夏）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂

直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。

⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在

Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。

3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B 1

＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿

垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子

第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。

（粒子重力不计）

4．一质量m 、带电q 的粒子以速度V 0从A 点沿等边三角形ABC 的AB

方向射入强度为B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子

飞出磁场后沿BC 射出，求圆形磁场区域的最小面积。

5．如图所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向

如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度V 0垂直射入磁场中；要使

粒子必能从EF 射出则初速度V 0应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？

6．如图9-11所示S 为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m 、带电-e 的电子，MN 是一块足够大的竖直挡板且与S 的水平距离OS ＝L ，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；

①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感应强度B 的条件？ ②若磁场的磁感应强度为B ，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子

的发射速率多大？

③若磁场的磁感应强度为B ，从S 发射出的电子的速度为m eBL

2，则档

板上出现电子的范围多大？

参考答案： 1．AC 2．

3． 4．

5．

6. eL mv 2B 0≤

；m 2eBL v 0≥对SP1弧由图知L 3L )L 2(OP 221=-=

对SP2弧由图知

L 15L )L 4(OP 222=-= 答案部分

例4：如图9-11所示S 为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m 、带电-e 的电子，MN 是一块足够大的竖直挡板且与S 的水平距离OS ＝L ，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；

①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感应强度B 的条件？ ②若磁场的磁感应强度为B ，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子

的发射速率多大？

③若磁场的磁感应强度为B ，从S 发射出的电子的速度为m eBL

2，则档

板上出现电子的范围多大？

【审题】电子从点S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S 射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S 向与SO 成锐角且位于SO 上方发射出的电子才可能经过点O ； 由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S 点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样

可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12所示，最低点为动态圆与

MN 相切时的交点，最高点为动态圆与MN 相割，且SP2为直径时P 为最高点。 【解析】①要使电子一定能经过点O ，即SO 为圆周的一条弦，

则电子圆周运动的轨道半径必满足2L R ≥，由2L eB mv 0≥ 得：eL mv 2B 0≤

②要使电子从S 发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O 点，故仍有粒子圆周

运动半径2L R ≥

， 由2L eB mv 0≥ 有：m 2eBL v 0≥

③当从S 发出的电子的速度为m eBL 2时，电子在磁场中的运动轨迹半径L 2qB mv R /==

作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在P1P2间；

对SP1弧由图知

L 3L )L 2(OP 221=-= 对SP2弧由图知

L 15L )L 4(OP 222=-= 【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R0的大小关系确定范围。

（06年全国2）如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v ，交替地在xy 平面内B 1与B 2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m 和q ，圆周运动的半径分别为和r 2，有

r 1＝ ① r 2＝ ②

分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy 平面内，粒子先沿半径为r 1的半圆C 1运动至y 轴上离O 点距离为2 r 1的A 点，接着沿半径为2 r 2的半圆D 1运动至y 轴的O 1点，O 1O 距离

d＝2（r2－r1）③

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。

设粒子经过n次回旋后与y轴交于O n点。若OO n即nd

满足nd＝2r1④

则粒子再经过半圆C n+1就能够经过原点，式中n＝1，2，

3，……为回旋次数。

由③④式解得⑤

由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件

n＝1，2，3，……⑥

（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y轴，交点O为原点，如图。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力）。

解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：①

速度小的粒子将在x

轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。

设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知

由此解得：②③由②③式和对称性可得⑤

⑥所以⑦

即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得

⑧

由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标⑨有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使

这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，

都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的

最小面积s。

解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2O n。由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2O n沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP 与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2

（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。

（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中

存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象

限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y

轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的

一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带

负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区

域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。

此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；

（2）磁感应强度的大小B。

解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有①

加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有②③

由②③式得④

设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量v1＝⑤

由①④⑤式得v1＝＝⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有tanα＝⑦

由④⑤⑦式得⑧

（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有⑨

设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得⑩

⑾

由⑧⑩⑾式解得R＝⑿

由⑥⑨⑿式得B＝⒀

六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向

不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运

动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中

有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电

+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞

并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？

带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿

半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半

径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。

粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得

，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。