全国大学生数学竞赛初赛2010年第二届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

x1, x2
,
x2, x3
上分别用罗尔定理，则各至少存在一点 ξ1
x1, x2
, ξ2
x2, x3
，使得
f
(ξ1)
f
(ξ2 )
0
。再将
f
(x )
在
ξ1,ξ2
上应用罗尔定理，则至少存在一点
η
ξ1,ξ2
，使得
f (η) 0 ，与已知条件 f (x) 0 矛盾，所以方程不能多于两个实根。
x 2t t2
由 lim f (x) β 0 ，必有一个充分大的c x0 ，使得 f (c) 0 . f (x) 0 可知y f (x)
x
为凹函数，从而 f (x) f (c) f (c) x c (x c) . 当x 时，
f () f (c)x c .
故存在d c ，使得 f (d) f (c) f (c)d c 0 .
1 1 a2 (1 a2)(1 a2n )
1 a
1 1 a4 (1 a4 )(1 a2n ) 1 a2n1
1 a
1a
由于| a
| 1 ，所以 lim a2n1
n
0
lim
n
xn
1 1a
.
(2)
求
lim ex
x
1
1 x
x
2
.
【参考答案】 lim ex
x
1
1 x
的 对 称 式 方 程 为 l1 :
1
1
0
，记两直线的方向向量分别为
l1 1, 1, 0 ,l2 4, 2, 1 ，两直线上两定点分别为P1(0, 0, 0), P2(2, 1, 3)，并记
a
P1P2
2, 1, 3 ，l1
l2
1, 1,6；
a
l1
l2
| 2 1 18 |
19
【参考答案】(1)设旋转轴 l 的方向向量为s (, , ) ，椭球内任意点P(x, y, z) 的径向量为r ，则点P
到旋转轴l 的距离的平方为
d2 r2
r s
1 2
x2
1 2
y2
1 2
z2 2xy 2yz 2xz
由积分区域的对称性可知
2xy 2yz 2xzdV 0 ，
L0 L1
x4 y2
L0 L2
x4 y2
0
L2
L0
L0
L1
L2
L1
L2 L1
2xy d x (x) d y
0
L
x4 y2
0.
5
2xy
(x )
P Q
(2) 设 P(x, y)
,Q(x, y)
. 令 ，即
x4 y2
x 4 y2 y x
2x5 2xy2 (x) x 4 y2 4x3(x)
【参考证法】由于 lim
x
f
(x )
α
0
，必有一个充分大的 a
x0
，使得
f
(a)
0.
f (x) 0 可
知y f (x)对应的图形为凹函数，从而 f (x) f (a) f (a) x a (x a) .当x 时，
f () f (a)x a .
故存在b a ，使得 f (b) f (a) f (a)b a 0 .
x2
dy
D
4xd x
dy
0.
6
f
r1
，
利用对称性，可得
g y
y
r3
f
r1
,
2g y 2
y2 r6
f
r1
2y2 r5
x2
f r1 ，
所以
2g x 2
2g y 2
1 r4
f
r1
பைடு நூலகம்
1 r3
f r1.
(5)
求直线l1
:
x
z
y 0
0
与直线l2
x 2 y 1 z 3
:
的距离.
4
2 1
xyz
【 参 考 答 案 】 直 线 l1
0
【参考答案】因为s 0 时， lim esxxn 0 ，所以
x
1
In
s
xnd esx
0
1
s
x nesx
0
esxd
0
xn
n s
In1
n
n n 1
n!
由此得In s In1 s s In2 sn1 I1.
I1
esx x
0
dx
1
s
x nesx
0
C
x4 y2
的值为常数.
(1) 设 L 为正向闭曲线(x 2)2 y2 1 . 证明:
2xy d x (x)d y 0；
L
x4 y2
2xy d x (x)d y
(2) 求函数(x) ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
C
x4 y2
.
2xy d x (x)d y
于是两点间的距离为d
.
l1 l2
38
2
第二题：(15 分)设函数 f (x) 在 (, ) 上具有二阶导数，并且
f (x) 0, lim f (x) α 0, lim f (x) β 0 ，
x
x
且存在一点x0 ，使得 f (x0) 0 . 证明：方程 f (x) 0 在 (, ) 恰有两个实根.
np ak
kn1 Sk
1 np
Sn p
ak
k n 1
Snp Sn
Sn p
1 Sn Sn p
因为Sn
对任意的n ，当 p N, Sn Sn p
1 ，从而
np
ak
2
k n1 Sk
1 .
2
所以级数 an 发散。 n1 Snα
(3) 当 α 1 时， an an ，由 an 发散及比较判别法， an 发散。
的约束条件下的条件极值。
L , , , 1 2 a2 1 2 b2 1 2 c2 2 2 2 1
令L , , , 0, L , , , 0, L , , , 0, L , , , 0, 解得极值点为
Q1 1, 0, 0,a2 ,Q2 0, 1, 0,b2 ,Q1 0, 0, 1,c2 ，
x
2
lim
x
e1
1
1 x
x
x
exp
lim
x
ln
1
1 x
x
1
x
exp
lim
x
x
x
ln 1
1 x
1
exp
lim
x
x
x
x1
1 2x 2
o x12 1
1
e 2.
【注】 expx ex .
(3)
设s 0 ，求In
esxxn d x(n 1, 2,) .
Sn1α Sn1α1 1 α ξαan 。
1 (1) 当 α 1 时，
1
α 1an
α 1 an
，显然
1
1 的前n 项和有
Snα11 Snα1
ξα
Snα
Snα11 Snα1
界，从而收敛，所以级数 an 收敛。
n1 Snα
(2) 当 α 1 时，因为an 0 ，Sn 单调递增，所以
esx
0
d
x
1 s2
n!
n!
In sn1 I1 sn1 .
1
(4) 设 f t 有二阶连续导数，r
x2
y2
，g(x, y)
f
r1
，求
2g x 2
2g y 2
.
r x r y 【参考答案】因为 , ，所以
x r y r
g x
x
r3
f
r1
,
2g x 2
x2 r6
f
r1
2x2 y2 r5
2010 年第二届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案
一、计算下列各题(本题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，要求写出重要步骤)
(1)
设 xn
(1 a) (1 a2)(1 a2n ) ，其中| a
|
1
，求
lim
n
xn
.
【参考答案】 xn
1 1 a(1 a) (1 a2)(1 a2n ) 1 a
(1 t)
1
设u ψ(t)，故有u
u 3 1 t ，由一阶非齐次线性微分方程通解计算公式，有
(1 t)
u
e
11 t d t
3(1
t)e
11 t d t
dt
C1
1
1
t
3(1 t)1 t
d
t
C
1
1
t
3t
C1
由曲线y ψ(t) 与y
t2 eu2 d u
3
在t 1处相切知ψ 1
3 , ψ
1
2 . 所以有
1
2e
2e
e
于是有
2
1
u |t1 ψ 1 e C1 e 3.
ψ(t)
1
t 3t
C1dt
t3
3
C1 2
t2
C1t
C2
由ψ1
3 2e
C2
2 ，于是有ψ(t) t3
1 2e
t2
e1
3t
2
(t
1).
3
第四题：(15 分)设
an
其中 x, y, z | x2 y2 z2 1 而
a2 b2 c2
x2dV a x2 dx
a
y2 z2
dy dz
x2
a x2
a
ab 1
x2 a2
dx
4a 3bc 15
.
1
b2 c2
a2
4
或者使用换元法，有
x2dV
2
d
d
1
a
2r
2
0
0
0
sin2
cos2
abcr2
4abc
比较可知，绕 z 轴（短轴）的转动惯量最大，并且有 Imax 15
a2 b2
.
绕 x 轴（长轴）的转动
惯量最小，并且有Imax
4abc 15
b2 c2
.
第六题：(15 分)设函数 (x) 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分
2xy d x (x)d y
d 2y
3
第三题：(15 分)设y f (x) 由参数方程
(t 1) 所确定. 且
，其中 ψ(t )
y ψ(t)
dx2 4(1 t)
具有二阶导数，曲线y ψ(t) 与y t2 eu2 d u 3 在t 1处相切. 求函数ψ(t) .
1
2e
dy ψ(t)
【参考答案】因为
，
dx 2 2t
d2 y
1 (2 2t)ψ(t) 2ψ(t) (1 t)ψ(t) ψ(t)
d x2 2 2t
3
2 2t
3
41 t
d 2y
3
由题设
，故
dx2 4(1 t)
(1 t)ψ(t) ψ(t)
3
，
3
41 t
4(1 t)
2
从而有(1 t)ψ(t) ψ(t) 31 t ，即
ψ(t) 1 ψ(t) 31 t
sin dr
4a3bc .
15
所以可得
y2
dV
4ab3c ,
15
y2
dV
4abc3 15
.
由转动惯量的定义，有
Il
d2 dV
4abc
1
2
a2
1 2
b2
1 2
c
2
.
15
(2) 考虑函数V , , 1 2 a2 1 2 b2 1 2 c2 在约束条件 2 2 2 1
在[x0,b]和[d, x0 ]利用零点定理，x1 x0,b, x2 d, x0 使得 f x1 f x2 0.
下面证明方程y f (x) 只有两个实根. 用反证法。假设 f (x) 0 在 (, ) 内有三个实根，不妨设为x1, x2, x3 且x1 x2 x3 。对
2
f (x)在区间
0，Sn
n
ak
k 1
，证明：(1)
当α
1 时，级数 an n1 Snα
收敛；(2)
当α
1，
且Sn
n
时， an n1 Snα
发散.
【参考答案】令 f
x
x1α, x
Sn1, Sn
，将
f
x
在
Sn
1,
Sn
上用拉格朗日中值定理，存在
ξ Sn1,Sn ，使得 f Sn f Sn1 f ξSn Sn1 ，即
Snα Sn
n1 Sn
n1 Snα
第五题：(15 分)设l 是过原点、方向为(, , ) （其中 2 2 2 1 ）的直线，均匀椭球
x2 y2 z2 1 （其中 0 c b a ，密度为 1）绕l 旋转.
a2 b2 c2
(1) 求其转动惯量； (2) 求其转动惯量关于方向(, , ) 的最大值和最小值.
.
2
2
x4 y2
x4 y2
解得(x) x2.
(3) 设 D 为正向闭曲线Ca : x 4 y2 1 所围的闭区域，则
2xy d x (x)d y
2xy d x x2 d y
C
x4 y2
Ca
x4 y2
利用格林公式，有
Ca
2xy d x x 2 x4 y2
dy
Ca
2xy d x
【参考答案】设
L
x4 y2
I ，将曲线L 分割成两段L L1 L2 。设L0 不经过原点的
光滑曲线，使得 L0 L1 和 L0 L2 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线. 由已知条件可知 L0 L1 和
L0 L2 上曲线积分相等，有
2xy d x (x) d y
2xy d x (x)d y