面面垂直的判定和性质定理

∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，
而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．
∴α⊥β。
探究1：
如图为正方体,请问哪些平面与面 AA1 B1 B 垂直?
D1 A1 B1 C1
面AA1B1B 面ABCD
面AA 1 B1 B 面BB 1C1C 面AA 1 B1 B 面A 1 B1C1 D 1
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
复习回顾：
1.线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一 条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。 2.线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 3.平面与平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是 直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直． 4.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
4．若两个平面互相垂直，在第一个平 面内的一条直线a垂直于第二个平面内 的一条直线b，那么（ ） （A）直线a垂直于第二个平面; （B）直线b垂直于第一个平面; （C）直线a不一定垂直第二个平面; （D）过a的平面必垂直于过b的平面.
例1： 已 知 平 面 ，， ， 直 线 a满 足 a ，a ， 试 判 断 直 线 a与 平 面 的 位置关系 . 解：在内作垂直于 与交线的直线b，
又 a , a // b. 又 a , a // .
即直线a与平面平行。
, b .
证明：如果两个相交平面都垂直于第三个 平面，则它们的交线也垂直于该平面。
小结：
1.线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
D A B
C
面AA 1B 1B 面AA 1D 1D
面面垂直
线面垂直
线线垂直
探究2：
已知AB 面BCD, BC CD,
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD AB 面BCD 面ABC 面ACD CD 面ABC
（2）求二面角S AM B的大小。
练习2.已知PC 平面ABC , AB=BC CA PC , 求二面 角B PA C的平面角的正切值。
练习3.过正方形ABCD的顶点A作PA 平面ABCD, 设PA AB a (1）求二面角B PC D的大小。
（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。
α a
a Ü a 面
线线垂直

β
简记：线面垂直，则面面垂直.
线面垂直 面面垂直
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB α（图1）． 求证：α⊥β。 证明：设α∩β=CD，
∵AB⊥β，CDβ， ∴AB⊥CD． 在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则
思考2：如图2，α⊥β，AB α， AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。
[分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需 证AB垂直于β内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义， 则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有 AB⊥β， 问题也就得到解决．
P
E
A
F B C
例4：已知正方体的棱长是a,求点C到面A1BD的 距离及直线A1C与面A1BD所成的角；
D1 A1 B1
C1
D A B
C
练习 1.已知四棱锥S ABCD中, 底面ABCD为矩形， SD 底面ABCD, AD 2, DC SD 2, 点M 在侧棱SC上，ABM 60 (1)证明：M 为侧棱SC的中点；
2.两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
3.两个平面垂直的性质定理2 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都 等于a，D、F分别是AC1、BB1的中点， （1）求证：DF//面A1B1C1 （2）求证：DF⊥AC1,DF⊥BB1 （3）求二面角F-AC1-C的大小。
平面与平面的垂直关系
一、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直 二面角），就说这两个平面互相垂直．




思考：如果你是一个质检员，你怎样去检测、 判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直. 符号语言:
直线与平面垂直的性质
在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直 线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类 似的结论吗？ 观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间 的位置关系。
a b a / /b
a a / /
线面垂直的性质定理1：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
A AA A
DD D CC C
D
A1 A1 A1 A1
E
C
C1 C1 C1 C1
B1 B1 B1B1
B BB B
FF FF
例1：如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N是 边AB 、PC的中点，PA=AD， 求证：（1）MN//面PAD （2）面MND ⊥面PDC
P N D A M B C
例2：如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上 不同于A、B的点，PA垂直于圆O所在的平面， AE⊥PB于E， AF⊥PF于F。 求证：面AEF⊥面PAB
课堂练习：
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B． 2 C．3 D．4
2．给出下列四个命题：（其中a，b表示直线， α，β，γ表示平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A．1 B． 2 C．3 D．4
练习4.已知四棱锥P ABCD, 底面为菱形，PA ABCD, ABC 60 , E , F 分别是BC , PC的中点， (1）证明：AE PD (2) H 为PD上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的 6 正切值为 ，求二面角E AF C的余弦值。 2

练习5.已知四棱锥P ABCD, 底面ABCD为矩形， AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2, PAB 60 (1）证明：AD 平面PAB; (2)求异面直线PC与AD所成的角的余弦值； （3）求二面角P BD A的平面角的正切值。
两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
思考3：
设平面 α ⊥平面β，点P在平面α内，过 点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有 什么位置关系？
已知： ⊥β，P∈ ，P∈a , a ⊥β. 求证：a

证明：设 ∩ β= c，过点P在平面内,
3．已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平 面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个 平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则 此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0
作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β. 因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直， 所以直线a应与直线b重合.所以a .

P

c b
P
a c
b
a
β
β
两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直．
两个平面垂直的性质定理2 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面 内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平 面内．
线面垂直的性质定理2：
垂直于同一条直线的两个平面平行。
思考1：
如果两个平面垂直，那么一个平 面内的直线是否一定垂直于另一个平 面?
思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，
你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
思考3：如果两个平面互相垂直，那么在第一个
平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平 面呢？

例3：如图，α,β,γ是三个平面，满足 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,求证：a⊥α
β a γ
α
练习：已知α,β,γ是三个平面，满足 α⊥γ, α//β，求证：β⊥γ
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
B C D A
3.两个Leabharlann Baidu面垂直应用举例
例1: AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所 在的平面，点C是⊙O上不同于A,B的任 一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
P
C
A
O
B
小结：
1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的; 2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义; 3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手; 4.在解题时注意应用.