高考数学均值不等式题型汇总

均值不等式题型汇总
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。

类型一：证明题
1. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
b c a a b c a b c
++≥++ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++
类型二：求最值：
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。

使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。

1. 设11,(0,)1x y x y
∈+∞+=且，求x y +的最小值。

2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求
112x y +的最小值。

3. 求函数11(01)1y x x x
=+<<-的最小值。

变式：求函数291(0)122y x x x =
+<<-的最小值。

4. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。

5. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。

6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。

7. 设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值。

8. 求函数y =
的最大值。

变式：y =
9. 设0x >求函数21x x y x
++=的最小值。

10. 设设1x >-求函数211
x x y x ++=+的最小值。

11. 若任意0x >，231
x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 12. 求函数22233(1)22
x x y x x x -+=>-+的最大值。

类型三、应用题
1.围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。

（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。

（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。

并求出最小总费用。

2.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。

为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=购地总费用建筑总面积
）。