初二数学几何计算与勾股定理证明题

初二数学每日复习内容

第十七、八章——几何计算与证明

1.已知，平行四边形ABCD 中，连接AC，AC＝AB，过点B 作BE⊥AC，垂足为E，延长BE 与CD 相交于点F．

（1）如图1，若AE＝3，CE＝2，求线段AD 的长．

（2）如图2，若∠BAC＝45°，过点F 作FG⊥AD 于点G，连接AF、EG，求证：AC＝EG

参考答案

1.【解答】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵AE＝3，CE＝2，∴AC＝AB＝5，∴BE＝＝4，

∴BC＝＝＝2 ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC＝2 ；

（2）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△AEB 是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∵AB∥CD，∴∠ACF＝45°，∠ABC+∠DCB＝180°，设

∠CBE＝x，∴∠ABC＝45°+x，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°+x，

∵∠EBC+∠ECB＝90°，∴x+45°+x＝90°，∴x＝22.5°，∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，

∵∠ABF＝∠ACF＝45°，∴A，B，C，F 四点共圆，∴∠CAF＝∠CBE＝22.5°，

∵FG⊥AD，∴∠AGF＝∠AEF＝90°，∴A，E，F，G 四点共圆，

∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，∴∠AGE＝67.5°，

∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，

∴∠EAG＝∠AGE，

∴AE＝GE，

∵AC＝AB＝AE，

∴AC＝EG．

第十七、八章——几何计算与证明

1.已知在平行四边形ABCD 中，AB＝BD，BE⊥AD 于点E，CF⊥BD 分别与BD、BE 交于点G、点F，连接GE．

（1）若BF＝1，CF＝，求平行四边形ABCD 的面积．

（2）若CF＝AB，求证：GE＝BG．

参考答案

【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，

∵BE⊥AD，∴BE⊥BC，

∵CF＝，BF＝1，∴BC＝2，∴AD＝BC＝2，

∵BD＝AB，BE⊥AD，∴DE＝AD＝1＝BF，

∵∠BCF+∠CBG＝∠CBG+∠DBE，∴∠BCF＝∠DBE，

∵∠DEB＝∠FBC＝90°，∴△DEB≌△FBC（AAS），

∴BE＝BC＝2，∴S▱ABCD＝AD•BE＝2×2＝4；

（2）证明：由（1）知：△DEB∽△FBC，

∵CF＝AB＝BD，∴△DEB≌△FBC，∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，

＝＝BF•BC，

设DE＝x，则BC＝AD＝2x，CF＝x，S

△BCF

x•BG＝x•2x，∴BG＝x，

∴DG＝x﹣x＝x，

过G 作GH⊥AD 于H，sin∠EDG＝＝，∴GH＝x，

cos∠EDG＝＝，DH＝，

∴EH＝x﹣＝，

∴EG＝＝＝，∴＝＝，

∴EG＝BG．

第十七、八章——几何计算与证明

1.如图，正方形ABCD 的边长为2，对角线AC、BD 相交于点O，E 是OC 的中点，连接BE，过点A 作AM⊥

BE 于点M，交BD 于点F．

（1）求证：AF＝BE；

（2）求点E 到BC 边的距离．

参考答案

1.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，

∵AM⊥BE 于点M，∴∠AME＝90°，

∴∠MAE＝∠OBE，

在△AOF 和△BOE 中

，∴△AOF≌△BOE（ASA），∴AF＝BE；

（2）解：作EN⊥BC 于N，如图，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴OC＝BC＝×2 ＝2，∠OCB＝45°，

∵E 是OC 的中点，

∴CE＝1，

在Rt△ECN 中，∵∠ECN＝45°，

∵△CEN 为等腰直角三角形，

∴EN＝CE＝，

即点E 到BC 边的距离为．

第十七、八章——几何计算与证明

1.如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是BC 上一点，且AB＝AE，连接EO 并延长交

AD 于点F．过点B 作AE 的垂线，垂足为H，交AC 于点G．

（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE 的面积；

（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．

参考答案

1.【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又

∵Rt△ABH 中，BH＝＝，

＝AE×BH＝×4×＝；

∴S

△ABE

（2）如图，过A 作AM⊥BC 于M，交BG 于K，过G 作GN⊥BC 于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，

∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，

又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，

设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，

∴AB＝BG，∴AE＝BG，

在△AME 和△BNG 中，

，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，

在等腰Rt△CNG 中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，

∵O 是AC 的中点，∴OA＝OC，

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，

∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，

∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，

∴DF＝BE＝CG．

第十七、八章——几何计算与证明

1.已知四边形ABCD 是矩形，连接AC，点E 是边CB 延长线上一点，CA＝CE，连接AE，F 是线段AE 的中点，

（1）如图1，当AD＝DC 时，连接CF 交AB 于M，求证：BM＝BE；

（2）如图2，连接BD 交AC 于O，连接DF 分别交AB、AC 于G、H，连接GC，若∠FDB＝30°，S 四边形GBOH